Cho a>b>c>0. CMR: b/ (√a+b – √a-b) < c/ (√a+c - √a-c)

0 bình luận về “Cho a>b>c>0. CMR: b/ (√a+b – √a-b) < c/ (√a+c - √a-c)”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \dfrac{b}{{\sqrt {a + b}  – \sqrt {a – b} }} – \dfrac{c}{{\sqrt {a + c}  – \sqrt {a – c} }}\\
    = \dfrac{{b.\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {a – b} } \right)}}{{\left( {\sqrt {a + b}  – \sqrt {a – b} } \right)\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {a – b} } \right)}} – \dfrac{{c\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {a – c} } \right)}}{{\left( {\sqrt {a + c}  – \sqrt {a – c} } \right)\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {a – c} } \right)}}\\
    = \dfrac{{b.\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {a – b} } \right)}}{{\left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right)}} – \dfrac{{c\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {a – c} } \right)}}{{\left( {a + c} \right) – \left( {a – c} \right)}}\\
    = \dfrac{{b.\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {a – b} } \right)}}{{2b}} – \dfrac{{c\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {a – c} } \right)}}{{2c}}\\
    = \dfrac{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a – b} }}{2} – \dfrac{{\sqrt {a + c}  + \sqrt {a – c} }}{2}\\
    = \dfrac{{\left( {\sqrt {a + b}  – \sqrt {a + c} } \right) + \left( {\sqrt {a – b}  – \sqrt {a – c} } \right)}}{2}\\
    = \dfrac{{\dfrac{{\left( {\sqrt {a + b}  – \sqrt {a + c} } \right)\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} } \right)}}{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} }} + \dfrac{{\left( {\sqrt {a – b}  – \sqrt {a – c} } \right)\left( {\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} } \right)}}{{\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} }}}}{2}\\
    = \dfrac{{\dfrac{{\left( {a + b} \right) – \left( {a + c} \right)}}{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} }} + \dfrac{{\left( {a – b} \right) – \left( {a – c} \right)}}{{\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} }}}}{2}\\
    = \dfrac{1}{2}.\left[ {\dfrac{{b – c}}{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} }} + \dfrac{{ – b + c}}{{\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} }}} \right]\\
    = \dfrac{1}{2}.\left( {b – c} \right).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} }} – \dfrac{1}{{\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} }}} \right]\\
   \left. \begin{array}{l}
   \sqrt {a + b}  > \sqrt {a – b} \\
   \sqrt {a + c}  > \sqrt {a – c} 
   \end{array} \right\} \Rightarrow \sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c}  > \sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} \\
    \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} }} < \dfrac{1}{{\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} }}\\
   a > b > c > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\left( {b – c} \right).\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {a + b}  + \sqrt {a + c} }} – \dfrac{1}{{\sqrt {a – b}  + \sqrt {a – c} }}} \right] < 0\\
    \Rightarrow \dfrac{b}{{\sqrt {a + b}  – \sqrt {a – b} }} – \dfrac{c}{{\sqrt {a + c}  – \sqrt {a – c} }} < 0\\
    \Leftrightarrow \dfrac{b}{{\sqrt {a + b}  – \sqrt {a – b} }} < \dfrac{c}{{\sqrt {a + c}  – \sqrt {a – c} }}
   \end{array}\)

   Trả lời