Cho $a,b,c>0_{}$ . CMR : $\dfrac{a}{b+c}+$ $\dfrac{b}{a+c}+$ $\dfrac{c}{a+b}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$
Cho $a,b,c>0_{}$ . CMR : $\dfrac{a}{b+c}+$ $\dfrac{b}{a+c}+$ $\dfrac{c}{a+b}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$
By Melody
By Melody
Cho $a,b,c>0_{}$ . CMR : $\dfrac{a}{b+c}+$ $\dfrac{b}{a+c}+$ $\dfrac{c}{a+b}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$
\(\begin{array}{l}
\text{Ta có:}\\
\dfrac{a}{b+c} + 1 = \dfrac{a+b+c}{b+c}\\
\dfrac{b}{c+a} + 1 = \dfrac{a+b+c}{c+a}\\
\dfrac{c}{a+b} + 1 = \dfrac{a+b+c}{a+b}\\
\text{Cộng vế theo vế ta được:}\\
\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} + 3 = (a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b}\right)\\
\text{Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:}\\
\quad \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b} \geqslant \dfrac{(1+1+1)^2}{b+c+c+a+a+b}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b} \geqslant \dfrac{9}{2(a+b+c)}\\
\Leftrightarrow (a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b}\right) \geqslant \dfrac92\\
\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} + 3 \geqslant \dfrac92\\
\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geqslant \dfrac32\\
\text{Dấu = xảy ra}\ \Leftrightarrow a = b = c
\end{array}\)
`a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ab + bc) + c^2/(ac + bc)`
Áp dụng Cauchy Schwarz dạng Engel
` a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ab + bc) + c^2/(ac + bc) `
` \ge ((a+b+c)^2)/(ab +ac + ab + bc + ac + bc) = ((a+b+c)^2)/( 2(ab+ bc + ac))`
Ta có BĐT phụ ` (a+b+c)^2 \ge 3(ab+ bc +ac)` ; thật vậy, BĐT tương đương
` a^2 +b^2 +c^2 + 2ab + 2bc + 2ac – 3ab – 3bc -3ac \ge 0`
`\to a^2 +b^2 + c^2 -ab – bc – ac \ge 0`
`\to 2a^2+ 2b^2 +2c^2 -2ab – 2bc – 2ac \ge 0`
` \to (a-b)^2 +(b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0` (đúng)
Áp dụng, ta có
` a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) \ge ((a+b+c)^2)/( 2(ab+ bc + ac)) \ge (3(ab+bc+ac))/(2(ab+bc+ac)) = 3/2`
Dấu `=` xảy ra khi ` a = b =c`
— BĐT đề bài là BĐT Nesbit, có siêu nhiều cách chứng minh nhưng mình quen làm theo cách này