Cho `a,b,c > 0 , ∀k >= 3/2` . CMR `(a^k)/(a + b) + (b^k)/(b + c) + (c^k)/(c + a) >= (a^{k – 1} + b^{k – 1} + c^{k – 1})/2`

Đáp án:

`a^{1/n} =` $\sqrt[n]{a}$  

 Áp dụng Kĩ thuật phụ định – phụ định ( hay Co-si ngược dấu)

Ta có

`(a^k)/(a + b) = (a^{k} + a^{k-1}b – a^{k-1}b)/(a + b) = (a^{k-1}(a + b) – a^{k-1}b)/(a + b)`

`= a^{k-1} – (a^{k-1}b)/(a+b)`

`+) a + b ≥ 2a^{1/2}b^{1/2}`

`-> (a^{k-1}b)/(a + b) ≤ (a^{k-1}b)/(2a^{1/2}b^{1/2}) = 1/2a^{k-3/2}b^{1/2}`

`-> (a^k)/(a + b) = a^{k-1} – (a^{k-1}b)/(a+b) ≥ a^{k-1} – 1/2a^{k-3/2}b^{1/2}`

cm tương tự

`-> (b^k)/(b + c) ≥ b^{k-1} – 1/2b^{k-3/2}c^{1/2}`

     `(c^k)/(c + a) ≥ c^{k-1} – 1/2c^{k-3/2}a^{1/2}`

Cộng từng vế ta được

`VT ≥ a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} – (1/2a^{k-3/2}b^{1/2} + 1/2b^{k-3/2}c^{1/2} + 1/2c^{k-3/2}a^{1/2})`

Ta cần CM `VT ≥ (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1})/2`

nếu ta cm được

` a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} – (1/2a^{k-3/2}b^{1/2} + 1/2b^{k-3/2}c^{1/2} + 1/2c^{k-3/2}a^{1/2}) ≥ (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1})/2 -> đpcm`

`<=>a^{k-3/2}b^{1/2} + b^{k-3/2}c^{1/2} + c^{k-3/2}a^{1/2} ≤ a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} ` 

`+)` liên quan đến BĐT AM-GM suy rộng

`+) k ≥ 3/2 -> 2k – 3 ≥ 0`

Xét  `(2k – 3)a^{k-1} + b^{k-1}`

`= a^{k-1} + a^{k-1} + … + a^{k-1} + b^{k – 1}`   (Có `2k – 3 + 1 = 2k – 2` số)

Áp dụng AM – GM 

`->a^{k-1} + a^{k-1} + … + a^{k-1} + b^{k – 1} ≥ (2k – 2). [(a^{k-1})^{2k-3} . b^{k-1}]^{1/(2k – 2)}`

`= (2k – 2)a^{k-3/2}b^{1/2}`

`-> (2k – 3)a^{k-1} + b^{k-1} ≥ (2k – 2)a^{k-3/2}b^{1/2}`

cm tương tự

`-> (2k – 3)b^{k-1} + c^{k-1} ≥ (2k – 2)b^{k – 3/2}c^{1/2}`

     `(2k – 3)c^{k-1} + a^{k-1} ≥ (2k – 2)c^{k-3/2}a^{1/2}`

Cộng từng vế ta được

`(2k – 2)[a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1}] ≥ (2k – 2)[a^{k-3/2}b^{1/2} + b^{k-3/2}c^{1/2} + c^{k-3/2}a^{1/2}]`

`-> a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} ≥a^{k-3/2}b^{1/2} + b^{k-3/2}c^{1/2} + c^{k-3/2}a^{1/2}`

Tổng hợp tất cả

`-> VT ≥ a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} – 1/2 (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} ) = (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} )/2 (đpcm)`

Giải thích các bước giải:

 

Trả lời