Cho `a,b,c > 0 , ∀k >= 3/2` . CMR `(a^k)/(a + b) + (b^k)/(b + c) + (c^k)/(c + a) >= (a^{k – 1} + b^{k – 1} + c^{k – 1})/2`

By Allison

Cho `a,b,c > 0 , ∀k >= 3/2` . CMR `(a^k)/(a + b) + (b^k)/(b + c) + (c^k)/(c + a) >= (a^{k – 1} + b^{k – 1} + c^{k – 1})/2`

0 bình luận về “Cho `a,b,c > 0 , ∀k >= 3/2` . CMR `(a^k)/(a + b) + (b^k)/(b + c) + (c^k)/(c + a) >= (a^{k – 1} + b^{k – 1} + c^{k – 1})/2`”

  1. Đáp án:

    `a^{1/n} =` $\sqrt[n]{a}$  

     Áp dụng Kĩ thuật phụ định – phụ định ( hay Co-si ngược dấu)

    Ta có

    `(a^k)/(a + b) = (a^{k} + a^{k-1}b – a^{k-1}b)/(a + b) = (a^{k-1}(a + b) – a^{k-1}b)/(a + b)`

    `= a^{k-1} – (a^{k-1}b)/(a+b)`

    `+) a + b ≥ 2a^{1/2}b^{1/2}`

    `-> (a^{k-1}b)/(a + b) ≤ (a^{k-1}b)/(2a^{1/2}b^{1/2}) = 1/2a^{k-3/2}b^{1/2}`

    `-> (a^k)/(a + b) = a^{k-1} – (a^{k-1}b)/(a+b) ≥ a^{k-1} – 1/2a^{k-3/2}b^{1/2}`

    cm tương tự

    `-> (b^k)/(b + c) ≥ b^{k-1} – 1/2b^{k-3/2}c^{1/2}`

         `(c^k)/(c + a) ≥ c^{k-1} – 1/2c^{k-3/2}a^{1/2}`

    Cộng từng vế ta được

    `VT ≥ a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} – (1/2a^{k-3/2}b^{1/2} + 1/2b^{k-3/2}c^{1/2} + 1/2c^{k-3/2}a^{1/2})`

    Ta cần CM `VT ≥ (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1})/2`

    nếu ta cm được

    ` a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} – (1/2a^{k-3/2}b^{1/2} + 1/2b^{k-3/2}c^{1/2} + 1/2c^{k-3/2}a^{1/2}) ≥ (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1})/2 -> đpcm`

    `<=>a^{k-3/2}b^{1/2} + b^{k-3/2}c^{1/2} + c^{k-3/2}a^{1/2} ≤ a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} ` 

    `+)` liên quan đến BĐT AM-GM suy rộng

    `+) k ≥ 3/2 -> 2k – 3 ≥ 0`

    Xét  `(2k – 3)a^{k-1} + b^{k-1}`

    `= a^{k-1} + a^{k-1} + … + a^{k-1} + b^{k – 1}`   (Có `2k – 3 + 1 = 2k – 2` số)

    Áp dụng AM – GM 

    `->a^{k-1} + a^{k-1} + … + a^{k-1} + b^{k – 1} ≥ (2k – 2). [(a^{k-1})^{2k-3} . b^{k-1}]^{1/(2k – 2)}`

    `= (2k – 2)a^{k-3/2}b^{1/2}`

    `-> (2k – 3)a^{k-1} + b^{k-1} ≥ (2k – 2)a^{k-3/2}b^{1/2}`

    cm tương tự

    `-> (2k – 3)b^{k-1} + c^{k-1} ≥ (2k – 2)b^{k – 3/2}c^{1/2}`

         `(2k – 3)c^{k-1} + a^{k-1} ≥ (2k – 2)c^{k-3/2}a^{1/2}`

    Cộng từng vế ta được

    `(2k – 2)[a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1}] ≥ (2k – 2)[a^{k-3/2}b^{1/2} + b^{k-3/2}c^{1/2} + c^{k-3/2}a^{1/2}]`

    `-> a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} ≥a^{k-3/2}b^{1/2} + b^{k-3/2}c^{1/2} + c^{k-3/2}a^{1/2}`

    Tổng hợp tất cả

    `-> VT ≥ a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} – 1/2 (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} ) = (a^{k-1} + b^{k-1} + c^{k-1} )/2 (đpcm)`

    Giải thích các bước giải:

     

    Trả lời

Viết một bình luận