Cho `a,b,c >0` và `a + b +c = 3` Chứng minh : `(3abc + ab + bc + ca)/2 ≤ 3`

Cho `a,b,c >0` và `a + b +c = 3` Chứng minh :
`(3abc + ab + bc + ca)/2 ≤ 3`

0 bình luận về “Cho `a,b,c >0` và `a + b +c = 3` Chứng minh : `(3abc + ab + bc + ca)/2 ≤ 3`”

  1. ta có :

    `a+b+c≥3\root{3}{abc}`

    `⇔3≥3\root{3}{abc}`

    `⇔1≥\root{3}{abc}`

    `⇔1≥abc`

    `⇔3≥3abc`

    mặt khác :

    `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0`

    `⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2ab-2bc≥0`

    `⇔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac`

    `⇔a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`

    `⇔(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)`

    `⇔9≥3(ab+bc+ac)`

    `⇒3≥(ab+bc+ac)`

    từ đó 

    `⇒ab+bc+ac+3abc≤3+3=6`

    `⇔(ab+bc+ac+3abc)≤3`

    `”=”`xẩy ra khi 

    `a=b=c=1`

     

    Bình luận

Viết một bình luận