Cho `a,b,c >0` và `a + b +c = 3` Chứng minh : `(3abc + ab + bc + ca)/2 ≤ 3` 15/07/2021 Bởi Josie Cho `a,b,c >0` và `a + b +c = 3` Chứng minh : `(3abc + ab + bc + ca)/2 ≤ 3`
ta có : `a+b+c≥3\root{3}{abc}` `⇔3≥3\root{3}{abc}` `⇔1≥\root{3}{abc}` `⇔1≥abc` `⇔3≥3abc` mặt khác : `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0` `⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2ab-2bc≥0` `⇔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac` `⇔a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac` `⇔(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)` `⇔9≥3(ab+bc+ac)` `⇒3≥(ab+bc+ac)` từ đó `⇒ab+bc+ac+3abc≤3+3=6` `⇔(ab+bc+ac+3abc)≤3` `”=”`xẩy ra khi `a=b=c=1` Bình luận
ta có :
`a+b+c≥3\root{3}{abc}`
`⇔3≥3\root{3}{abc}`
`⇔1≥\root{3}{abc}`
`⇔1≥abc`
`⇔3≥3abc`
mặt khác :
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0`
`⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2ab-2bc≥0`
`⇔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac`
`⇔a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`
`⇔(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)`
`⇔9≥3(ab+bc+ac)`
`⇒3≥(ab+bc+ac)`
từ đó
`⇒ab+bc+ac+3abc≤3+3=6`
`⇔(ab+bc+ac+3abc)≤3`
`”=”`xẩy ra khi
`a=b=c=1`