Cho `a,b,c >0` và `a + b +c = 3` Chứng minh : `(3abc + ab + bc + ca)/2 ≤ 3`

ta có :

`a+b+c≥3\root{3}{abc}`

`⇔3≥3\root{3}{abc}`

`⇔1≥\root{3}{abc}`

`⇔1≥abc`

`⇔3≥3abc`

mặt khác :

`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0`

`⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2ab-2bc≥0`

`⇔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac`

`⇔a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`

`⇔(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)`

`⇔9≥3(ab+bc+ac)`

`⇒3≥(ab+bc+ac)`

từ đó 

`⇒ab+bc+ac+3abc≤3+3=6`

`⇔(ab+bc+ac+3abc)≤3`

`”=”`xẩy ra khi 

`a=b=c=1`