Toán Cho a+b+c=3; a^2+b^2+c^2=5; a^3+b^3+c^3=7 Tính a^4+b^4+c^4 và a^5+b^5+c^5 08/09/2021 By Peyton Cho a+b+c=3; a^2+b^2+c^2=5; a^3+b^3+c^3=7 Tính a^4+b^4+c^4 và a^5+b^5+c^5
Đáp án: $ a^{4} + b^{4} + c^{4} = 81$ $ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 151$ Giải thích các bước giải: $ ab + bc + ca = \frac{1}{2}[(a + b + c)² – (a² + b² + c²)] = \frac{1}{2}(3² – 5) = 2$ $ (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc$ $ ⇒ 3abc = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – (a + b + c)³$ $ = 7 + 3.3.2 – 3³ = 16 ⇒ abc = \frac{16}{3} $ $ a^{4} + b^{4} + c^{4} = (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²) $ $ = 25 – 2[(ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c)]$ $ = 25 – 2(2² – 2.\frac{16}{3}.3) = 81$ $ 35 = 5.7 = (a² + b² + c²)(a³ + b³ + c³)$ $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(a + b) + b²c²(b + c) + c²a²(c + a)$ $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(3 – c) + b²c²(3 – a) + c²a²(3 – b)$ $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(a²b² + b²c² + c²a²) – 3abc(ab + bc + ca)$ $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3[(ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c)] – 3abc(ab + bc + ca)$ $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(2² – 2\frac{16}{3}.3) – 3\frac{16}{3}.2$ $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} – 116$ $ ⇒ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 35 + 116 = 151$ Trả lời
Đáp án: Giải thích các bước giải: Có `a+b+c = 0``⇒ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) = 0`mà `a^2+b^2+c^2 = 5``⇒ ab+bc+ac = -\frac{5}{2}``⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2ab^2c+2a^2bc+2abc^2 =\frac{25}{4}``⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc(b+a+c) = \frac{25}{4}``⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 = \frac{25}{4} `Ta bình phương `a^2+b^2+c^2` lênĐK:`a^4+b^4+c^4 + 2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=25``⇒a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) = 25`Mà `a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 = \frac{25}{4}``⇒a^4+b^4+c^4 +\frac{25}{2} =25``⇒a^4+b^4+c^4 = \frac{25}{2}` Trả lời
Đáp án:
$ a^{4} + b^{4} + c^{4} = 81$
$ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 151$
Giải thích các bước giải:
$ ab + bc + ca = \frac{1}{2}[(a + b + c)² – (a² + b² + c²)] = \frac{1}{2}(3² – 5) = 2$
$ (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc$
$ ⇒ 3abc = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – (a + b + c)³$
$ = 7 + 3.3.2 – 3³ = 16 ⇒ abc = \frac{16}{3} $
$ a^{4} + b^{4} + c^{4} = (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²) $
$ = 25 – 2[(ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c)]$
$ = 25 – 2(2² – 2.\frac{16}{3}.3) = 81$
$ 35 = 5.7 = (a² + b² + c²)(a³ + b³ + c³)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(a + b) + b²c²(b + c) + c²a²(c + a)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(3 – c) + b²c²(3 – a) + c²a²(3 – b)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(a²b² + b²c² + c²a²) – 3abc(ab + bc + ca)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3[(ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c)] – 3abc(ab + bc + ca)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(2² – 2\frac{16}{3}.3) – 3\frac{16}{3}.2$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} – 116$
$ ⇒ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 35 + 116 = 151$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Có `a+b+c = 0`
`⇒ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) = 0`
mà `a^2+b^2+c^2 = 5`
`⇒ ab+bc+ac = -\frac{5}{2}`
`⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2ab^2c+2a^2bc+2abc^2 =\frac{25}{4}`
`⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc(b+a+c) = \frac{25}{4}`
`⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 = \frac{25}{4} `
Ta bình phương `a^2+b^2+c^2` lên
ĐK:
`a^4+b^4+c^4 + 2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=25`
`⇒a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) = 25`
Mà `a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 = \frac{25}{4}`
`⇒a^4+b^4+c^4 +\frac{25}{2} =25`
`⇒a^4+b^4+c^4 = \frac{25}{2}`