Cho a,b,c $\geq$ 0. CMR $\sqrt[3]{ab}$ +$\sqrt[3]{bc}$ +$\sqrt[3]{ac}$ $\leq$ $\frac{2}{3}$ (a+b+c)+1 06/07/2021 Bởi Arya Cho a,b,c $\geq$ 0. CMR $\sqrt[3]{ab}$ +$\sqrt[3]{bc}$ +$\sqrt[3]{ac}$ $\leq$ $\frac{2}{3}$ (a+b+c)+1
Đáp án: Giải thích các bước giải: Do `a,b,c>=0` ,Áp dụng BĐT Co-si `=>a+b+1>=3`$\sqrt[3]{a.b.1}$ `=3`$\sqrt[3]{ab}$ `=>a+c+1>=3`$\sqrt[3]{a.c.1}$ `=3`$\sqrt[3]{ac}$ `=>b+c+1>=3`$\sqrt[3]{b.c.1}$ `=3`$\sqrt[3]{bc}$ `=>(a+b+1)+(a+c+1)+(b+c+1)>=3`$\sqrt[3]{ab}$`+3`$\sqrt[3]{ac}$`+3`$\sqrt[3]{bc}$ `=>2(a+b+c)+3>=3(`$\sqrt[3]{ab}$`+`$\sqrt[3]{bc}$`+`$\sqrt[3]{ac}$`)` `=>2/3 (a+b+c)+1>=`$\sqrt[3]{ab}$`+`$\sqrt[3]{bc}$`+`$\sqrt[3]{ac}$ Dấu`=` xảy ra `<=>a=b=c=1` Bình luận
ta có bđt x+y+z≥3.$\sqrt[3]{xyz}$ đặt $\sqrt[3]{x}$ =m ;$\sqrt[3]{y}$ =n;$\sqrt[3]{z}$=p m³+n³+p³≥3mnp m³+n³+3mn(m+n) +p³≥3mn(m+n)+3mnp (m+n)³+p³≥3mn(m+n+p) (m+n+p)[(m+n)²-(m+n).p+p²)-3mn(m+n+p)≥0 (m+n+p)(m²+n²+p²-mn-pn-pm)≥0 $\frac{1}{2}$ (m+n+p)[(m-n)²+(n-p)²+(p-m)²]≥0 với mọi m,n,p dương nên áp dụng bất đắng thức là 3.$\sqrt[3]{ab1}$ ≤a+b+1 3.$\sqrt[3]{bc1}$≤b+c+1 3.$\sqrt[3]{ca1}$≤a+c+1 cộng các vế ra đpcm bất đẳng thức trên một số thầy cô sẽ cho áp luôn nhưng với thầy cô mình bắt phải chứng minh nên mình không biết bạn ntn dấu bằng a=b=c=1 Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Do `a,b,c>=0` ,Áp dụng BĐT Co-si
`=>a+b+1>=3`$\sqrt[3]{a.b.1}$ `=3`$\sqrt[3]{ab}$
`=>a+c+1>=3`$\sqrt[3]{a.c.1}$ `=3`$\sqrt[3]{ac}$
`=>b+c+1>=3`$\sqrt[3]{b.c.1}$ `=3`$\sqrt[3]{bc}$
`=>(a+b+1)+(a+c+1)+(b+c+1)>=3`$\sqrt[3]{ab}$`+3`$\sqrt[3]{ac}$`+3`$\sqrt[3]{bc}$
`=>2(a+b+c)+3>=3(`$\sqrt[3]{ab}$`+`$\sqrt[3]{bc}$`+`$\sqrt[3]{ac}$`)`
`=>2/3 (a+b+c)+1>=`$\sqrt[3]{ab}$`+`$\sqrt[3]{bc}$`+`$\sqrt[3]{ac}$
Dấu`=` xảy ra `<=>a=b=c=1`
ta có bđt x+y+z≥3.$\sqrt[3]{xyz}$
đặt $\sqrt[3]{x}$ =m ;$\sqrt[3]{y}$ =n;$\sqrt[3]{z}$=p
m³+n³+p³≥3mnp
m³+n³+3mn(m+n) +p³≥3mn(m+n)+3mnp
(m+n)³+p³≥3mn(m+n+p)
(m+n+p)[(m+n)²-(m+n).p+p²)-3mn(m+n+p)≥0
(m+n+p)(m²+n²+p²-mn-pn-pm)≥0
$\frac{1}{2}$ (m+n+p)[(m-n)²+(n-p)²+(p-m)²]≥0 với mọi m,n,p dương
nên áp dụng bất đắng thức là
3.$\sqrt[3]{ab1}$ ≤a+b+1
3.$\sqrt[3]{bc1}$≤b+c+1
3.$\sqrt[3]{ca1}$≤a+c+1
cộng các vế ra đpcm
bất đẳng thức trên một số thầy cô sẽ cho áp luôn nhưng với thầy cô mình bắt phải chứng minh nên mình không biết bạn ntn
dấu bằng a=b=c=1