Cho $a,b,c \geq 0$ sao cho $(a+c-3)b +1 =0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$ P=\frac{1}{a+1} + \frac{b}{a+b} + \frac{b}{ac+3b}$$
Cho $a,b,c \geq 0$ sao cho $(a+c-3)b +1 =0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$ P=\frac{1}{a+1} + \frac{b}{a+b} + \frac{b}{ac+3b}$$
Từ `(a+c-3)b+1=0`
`=>a+\frac{1}{b}+c=3`
Đặt `(a,1/b,c)=(x,y,z)`
Ta có:
`\frac{1}{x+1}+\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xyz+3}\geq \frac{9}{x+xy+xyz+5}`
Lại có:
`x+xy+xyz=x+xy(z+1)\leq x +x.\frac{(y+z+1)^2}{4}=x+\frac{x(4-x)^2}{4}`
Mặt khác:
`x+\frac{x(4-x)^2}{4}-4=\frac{(x-4)(x-2)^2}{4}\leq 0\Rightarrow x+\frac{x(4-x)^2}{4}\leq 4`
`=>P>= \frac{9}{x+xy+xyz+5}>= \frac{9}{4+5}=1`
Dấu “=” xảy ra `<=>a=2;b=1;c=0`