Cho `a,b,c in [-1;2]` và `a + b + c = 0` . cm/r `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2` 20/10/2021 Bởi Alice Cho `a,b,c in [-1;2]` và `a + b + c = 0` . cm/r `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2`
Đáp án: Bài toán : `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2` Trở thành : `0 <= a^2 + b^2 + c^2 – 2abc <= 2` `+) a^2 + b^2 + c^2 – 2abc >= 0`Ta có `VT = a^2 + b^2 + c^2 – 2abc ≥ (a + b + c)^2/3 – 2((a + b + c)/3)^3 = 0``-> đpcm` Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 0``+) a^2 + b^2 + c^2 – 2abc <= 2` `<=> (a + b + c)^2 – 2(ab + bc + ca) – 2abc <= 2``<=> 0 – 2(ab + bc + ca) – 2abc <= 2``<=> 0 – (ab + bc + ca) – abc <= 1``<=> 1 + abc + ab + bc + ca >= 0` Đem cộng `a + b + c = 0` vào `2` vế ta được `<=> 1 + ab + bc + ca + abc + a + b + c >= 0``<=> (a + 1)(b + 1)(c + 1) >= 0` (luôn đúng) Do `a,b,c in [-1;2] -> a + 1 , b + 1 , c + 1 >= 0` Vậy bài toán được chứng minh Giải thích các bước giải: Bình luận
Do $a,b,c∈[-1;2]$ nên $(a+1)(b+1)(c+1)≥0$ Hay $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1≥0$ $⇔abc+ab+bc+ca+1≥0$ Mặt khác: Vì $a+b+c=0$ nên `(a+b+c)^2=0` Hay: $ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$ Khi đó $abc-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+1≥0⇔a^2+b^2+c^2≤2abc+2$ $⇒-1≤c≤\dfrac{a+b+c}{3}≤0⇒|c|≤1$ Khi đó $2abc≤2.|a|.|b|.|c|≤2.|a|.|b|$ `⇒a^2+b^2+c^2-2abc≥a^2+b^2+c^2-2|a|.|b|=(|a|+|b|)^2+c^2≥0` Do đó $a^2+b^2+c^2≥2abc$ $\to$ đpcm Bình luận
Đáp án:
Bài toán : `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2`
Trở thành : `0 <= a^2 + b^2 + c^2 – 2abc <= 2`
`+) a^2 + b^2 + c^2 – 2abc >= 0`
Ta có
`VT = a^2 + b^2 + c^2 – 2abc ≥ (a + b + c)^2/3 – 2((a + b + c)/3)^3 = 0`
`-> đpcm`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 0`
`+) a^2 + b^2 + c^2 – 2abc <= 2`
`<=> (a + b + c)^2 – 2(ab + bc + ca) – 2abc <= 2`
`<=> 0 – 2(ab + bc + ca) – 2abc <= 2`
`<=> 0 – (ab + bc + ca) – abc <= 1`
`<=> 1 + abc + ab + bc + ca >= 0`
Đem cộng `a + b + c = 0` vào `2` vế ta được
`<=> 1 + ab + bc + ca + abc + a + b + c >= 0`
`<=> (a + 1)(b + 1)(c + 1) >= 0` (luôn đúng)
Do `a,b,c in [-1;2] -> a + 1 , b + 1 , c + 1 >= 0`
Vậy bài toán được chứng minh
Giải thích các bước giải:
Do $a,b,c∈[-1;2]$ nên $(a+1)(b+1)(c+1)≥0$
Hay $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1≥0$
$⇔abc+ab+bc+ca+1≥0$
Mặt khác: Vì $a+b+c=0$ nên `(a+b+c)^2=0`
Hay: $ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$
Khi đó $abc-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+1≥0⇔a^2+b^2+c^2≤2abc+2$
$⇒-1≤c≤\dfrac{a+b+c}{3}≤0⇒|c|≤1$
Khi đó $2abc≤2.|a|.|b|.|c|≤2.|a|.|b|$
`⇒a^2+b^2+c^2-2abc≥a^2+b^2+c^2-2|a|.|b|=(|a|+|b|)^2+c^2≥0`
Do đó $a^2+b^2+c^2≥2abc$
$\to$ đpcm