Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$. Chứng minh rằng:
$$(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2) \leq \sqrt{5}$$
Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$. Chứng minh rằng:
$$(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2) \leq \sqrt{5}$$
Đáp án:
`=>` đpcm
Giải thích các bước giải:
Giả sử:
`a = min (a, b,c)`
`=> b+ c = sqrt 5 – a le sqrt 5`
Và đặt: `A = |(a^2- b^2) (b^2-c^2)(c^2-a^2)|`
`=> A= (a^2 – b^2)^2(b^2-c^2)^2(c^2-a^2)^2 le b^4c^4(b^2-c^2)^2`
`= b^4c^4(b-c)^2(b+c)^2 le 5b^4c^4(b-c)^2`
Sử dụng bất đẳng thức ` Cô- si` ta có:
`5b^4c^4(b-c)^2 = 5bc*bc*bc*bc(b-c)^2 le 5*((4bc+(b-c)^2)/5)^5`
`= 5((b-c)^2/5)^5 le 5`
`=> A le sqrt 5`
Đẳng thức xảy ra khi `a=0; b = (1 + sqrt5)/2; c = (sqrt 5 -1)/2` và các hoán vị