Toán Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh a^2+b^2+c^2 lớn hơn hoặc bằng ab+bc+ca 08/09/2021 By Melanie Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh a^2+b^2+c^2 lớn hơn hoặc bằng ab+bc+ca
`a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca` ⇔`2a^2+2b^2+2c^2 ≥ 2ab+2bc+2ca` ⇔`(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ca+c^2)+(b^2-2bc+c^2) ≥ 0` `⇔(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 ≥ 0` Luôn đúng vậy bài toàn được chứng minh Trả lời
\(\begin{array}{l}\quad a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca\\\Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \geqslant 2ab+ 2bc+ 2ca\\\Leftrightarrow (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) \geqslant 0\\\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geqslant 0\quad \text{(luôn đúng)}\\\text{Vậy}\ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca\end{array}\) Trả lời
`a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca`
⇔`2a^2+2b^2+2c^2 ≥ 2ab+2bc+2ca`
⇔`(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ca+c^2)+(b^2-2bc+c^2) ≥ 0`
`⇔(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 ≥ 0` Luôn đúng
vậy bài toàn được chứng minh
\(\begin{array}{l}
\quad a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca\\
\Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \geqslant 2ab+ 2bc+ 2ca\\
\Leftrightarrow (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) \geqslant 0\\
\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geqslant 0\quad \text{(luôn đúng)}\\
\text{Vậy}\ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca
\end{array}\)