Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a^2+b^2 +c^2=3 Tìm GTLN của P=a/a^2+2b+3 + b/b^2+2c+3 + c/c^2+2a+3

ta có :

`ab+bc+ac≤a^2+b^2+c^2≤3(a^2+b^2+c^2)`

`(a)/(a^2+2b+3)≤(a)/(2a+2b+2)≤(a(a+b+c^2))/(2(a^2+b^2+c^2))=(a^2+ba+ac^2)/(18)`

tương tự :
`(b)/(b^2+2c+3)≤(b^2+bc+ba^2)/(18)`

`(c)/(c^2+2a+3)≤(c^2+ca+cb^2)/(18)`

`⇒P≤(a^2+ba+ac^2)/(18)+(b^2+bc+ba^2)/(18)+(c^2+ca+cb^2)/(18)`

`⇒P≤(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc+ac^2+ba^2+cb^2)/(18)`

`⇒P≤(3+3+\sqrt((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)))/(18)`

`⇒P≤(6+\sqrt(3.3))/(18)`

`⇒P≤(9)/(18)=1/2`

`”=”`xẩy ra khi :

`a=b=c=1`