Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh : `ab + bc + ca ≤ a²+ b²+ c²< 2(ab + bc + ca ).`

Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: $a,b,c > 0$

Ta có: $(a – b)² ≥ 0$

$⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0$

$⇔ a² + b² ≥ 2ab$

Chứng minh tương tự ta có: $b² + c² ≥ 2bc$ ; $a² + c² ≥ 2ac$

Cộng 3 vế, ta được:

$a² + b² + b² + c² + a² + c² ≥2ab + 2bc + 2ac$

$⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)$

$⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac$

Ta tiếp tục xét:

$a < b + c$ ( Tính chất 3 cạnh trong tam giác)

$⇔ a² < a(b + c)$ ( $a > 0$ nên nhân vào ko đổi dấu )

$⇔ a² < ab + ac$

Chứng minh tương tự ta được: $b² < bc + ab$ ; $c² < ac + bc$

Cộng 3 vế, ta được:

$a² + b² + c² < ab + ac + bc + ab + ac + bc$

$⇔ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$

Vậy $ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$