Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh : `ab + bc + ca ≤ a²+ b²+ c²< 2(ab + bc + ca ).` 19/07/2021 Bởi Mackenzie Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh : `ab + bc + ca ≤ a²+ b²+ c²< 2(ab + bc + ca ).`
Đáp án: Giải thích các bước giải: `+)` `a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc` `<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc` `<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0` `<=>(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c` `+)2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2` Áp dụng BĐT trong tam giác `b+c>a` `=>a(b+c)>a^2` `=>ab+ac>a^2` Chứng minh tương tự `=>bc+ca>=c^2,ab+bc>=b^2` `=>(ab+ac)+(bc+ca)+(ab+bc)>=a^2+c^2+b^2` `=>2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2` Vậy `ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)` với `a,b,c` là độ dài `3` cạnh tam giác Bình luận
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: $a,b,c > 0$ Ta có: $(a – b)² ≥ 0$ $⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0$ $⇔ a² + b² ≥ 2ab$ Chứng minh tương tự ta có: $b² + c² ≥ 2bc$ ; $a² + c² ≥ 2ac$ Cộng 3 vế, ta được: $a² + b² + b² + c² + a² + c² ≥2ab + 2bc + 2ac$ $⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)$ $⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac$ Ta tiếp tục xét: $a < b + c$ ( Tính chất 3 cạnh trong tam giác) $⇔ a² < a(b + c)$ ( $a > 0$ nên nhân vào ko đổi dấu ) $⇔ a² < ab + ac$ Chứng minh tương tự ta được: $b² < bc + ab$ ; $c² < ac + bc$ Cộng 3 vế, ta được: $a² + b² + c² < ab + ac + bc + ab + ac + bc$ $⇔ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$ Vậy $ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`+)`
`a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0`
`<=>(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
`+)2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2`
Áp dụng BĐT trong tam giác
`b+c>a`
`=>a(b+c)>a^2`
`=>ab+ac>a^2`
Chứng minh tương tự
`=>bc+ca>=c^2,ab+bc>=b^2`
`=>(ab+ac)+(bc+ca)+(ab+bc)>=a^2+c^2+b^2`
`=>2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2`
Vậy `ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)` với `a,b,c` là độ dài `3` cạnh tam giác
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: $a,b,c > 0$
Ta có: $(a – b)² ≥ 0$
$⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0$
$⇔ a² + b² ≥ 2ab$
Chứng minh tương tự ta có: $b² + c² ≥ 2bc$ ; $a² + c² ≥ 2ac$
Cộng 3 vế, ta được:
$a² + b² + b² + c² + a² + c² ≥2ab + 2bc + 2ac$
$⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)$
$⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac$
Ta tiếp tục xét:
$a < b + c$ ( Tính chất 3 cạnh trong tam giác)
$⇔ a² < a(b + c)$ ( $a > 0$ nên nhân vào ko đổi dấu )
$⇔ a² < ab + ac$
Chứng minh tương tự ta được: $b² < bc + ab$ ; $c² < ac + bc$
Cộng 3 vế, ta được:
$a² + b² + c² < ab + ac + bc + ab + ac + bc$
$⇔ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$
Vậy $ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$