Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của tam giác.CMR A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) >= 3 Giúp mk vs nha mọi người

0 bình luận về “Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của tam giác.CMR A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) >= 3 Giúp mk vs nha mọi người”

1. Áp dụng bđt AM – GM ta có :

   A=ab+c−a+ba+c−b+cb+a−c≥33√abc(b+c−a)(a+c−b)(b+a−c)

   Ta có : (b+c−a)+(a+c−b)≥2√(b+c−a)(a+c−b)

   ⇔2c≥2√(b+c−a)(a+c−b)⇒c≥√(b+c−a)(a+c−b)(1)

   Tương tự ta có b≥√(b+c−a)(b+a−c) (2) và a≥√(a+c−b)(b+a−c) (3)

   Nhân các vế tương ứng của (1);(2);(3) lại ta được :

   abc≥√[(b+c−a)(a+c−b)(b+a−c)]2=(b+c−a)(a+c−b)(b+a−c)

   ⇒abc(b+c−a)(a+c−b)(b+a−c)≥1

   ⇒A≥33√abc(b+c−a)(a+c−b)(b+a−c)≥3

   Bình luận

2. Đặt $x=b+c-a$

   $y=a+c-b$

   $z=a+b-c$

   $⇒x+z=b+c-a+a+b-c=2b$

   $x+y=b+c-a+a+c-b=2c$

   $y+z=a+c-b+a+b-c=2a$

   Ta có: `2A=(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z`

   `=y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z`

   `=(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)`

   Dễ chứng minh `a/b+b/a≥2` với $a,b>0$

   `⇒2A=(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)≥6`

   `⇒2A=(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z≥6`

   `⇒2A=(2a)/(b+c-a)+(2b)/(a+c-b)+(2c)/(a+b-c)≥6`

   `⇒A=(a)/(b+c-a)+(b)/(a+c-b)+(c)/(a+b-c)≥3` `(Đpcm)`.

   Bình luận