Cho ΔABC và D bất kì. DA,DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA,AB tại A’,B’,C’ cmr nếu ta có vecto BA’- vecto A’C+ vectoCB’ -vecto B’A +vectoAC’-vecto C’B=0 thì D là trọng tâm tam giác ABC !!! Ai đó giúp tôi với cảm ơn rất nhiều ????????!!! Tui cần rất gấp mai lộp cảm ơn nhiều ạ!!
Cho ΔABC và D bất kì. DA,DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA,AB tại A’,B’,C’ cmr nếu ta có vecto BA’- vecto A’C+ vectoCB’ -vecto B’A +vectoAC’-vecto C’B=0
By Nevaeh
Lời giải:
Theo giả thiết:
$\overrightarrow {BA’} – \overrightarrow {A’C} + \overrightarrow {CB’} – \overrightarrow {B’A} + \overrightarrow {AC’} – \overrightarrow {C’B} = \overrightarrow 0 $
$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BA’} + \overrightarrow {CA’} ) + (\overrightarrow {CB’} + \overrightarrow {AB’} ) + (\overrightarrow {AC’} + \overrightarrow {BC’} ) = \overrightarrow 0 $
$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DA’} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA’} ) + (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB’} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB’} ) + (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC’} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC’} ) = \overrightarrow 0 $
$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {DA’} + \overrightarrow {CD} ) + (\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {DB’} + \overrightarrow {AD} ) + (\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {DC’} + \overrightarrow {BD} ) = \overrightarrow 0 $
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC; M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB
Dễ chứng minh:
$ \Leftrightarrow (\overrightarrow {BG} + 2\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {CG} ) + (\overrightarrow {CG} + 2\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {AG} ) + (\overrightarrow {AG} + 2\overrightarrow {GP} + \overrightarrow {BG} ) = \overrightarrow 0 $
Như vậy, G ≡ D hay D là trọng tâm tam giác ABC