Cho biểu thức $M$ = $\frac{x}{x+y+z}$ + $\frac{y}{x+y+t}$ + $\frac{z}{y+z+t}$ + $\frac{t}{x+z+t}$ với $x$, $y$, $z$, $t$ là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh $M^{10}$ < 1025
Cho biểu thức $M$ = $\frac{x}{x+y+z}$ + $\frac{y}{x+y+t}$ + $\frac{z}{y+z+t}$ + $\frac{t}{x+z+t}$ với $x$, $y$, $z$, $t$ là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh $M^{10}$ < 1025
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`text{Ta có :}`
`x/(x+y+z) < x/(x+y)`
`y/(x+y+t) < y/(x+y)`
`z/(y+z+t) < z/(z+t)`
`t/(x+z+t) < t/(z+t)`
`text{Cộng vế với vế ta được :}`
`x/(x+y+z)+y/(x+y+t)+z/(y+z+t)+t/(x+z+t) < x/(x+y) + y/(x+y) + z/(z+t) + t/(z+t)`
`to \ M < (x+y)/(x+y) + (z+t)/(z+t) = 1+1 = 2`
$\rm \to \ M^{10} < 2^{10} = 1024 < 1025$
Vậy $\rm M^{10} \ < \ 1025$
Ta có:
`x/(x+y+z) < x/(x+y)` `(1)`
`y/(x+y+t) < y/(x+y)` `(2)`
`z/(y+z+t) < z/(z+t)` `(3)`
`t/(x+z+t) < t/(z+t) ` `(4)`
Từ `(1) ; (2) ; (3); (4)` cộng vế với vế ta được:
`x/(x+y+z) + y/(x+y+t) + z/(y+z+t) + t/(x+z+t) < x/(x+y) + y/(x+y) + z/(z+t) + t/(z+t)`
`=> M < (x+y)/(x+y) + (z+t)/(z+t)`
`=> M < 1+1 =2`
`=> M^10 < 2^10 = 1024 < 1025`
`=> M^10 < 1025`
Vậy `M^10 < 1025`