Cho (C): x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0 tìm M thuộc (C) sao cho d(M;denlta) ngắn nhất với delta: x – y + 3 = 0

0 bình luận về “Cho (C): x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0 tìm M thuộc (C) sao cho d(M;denlta) ngắn nhất với delta: x – y + 3 = 0”

1. Ta có 

   $(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$

   Ta viết ptrinh đường thẳng $d$ qua tâm $I(1,-2)$ và vuông góc với $\Delta: x – y + 3 = 0$

   Do $d \perp \Delta$ nên $n_d = u_{\Delta} = (1,1)$

   Lại có $d$ qua $I(1,-2)$ nên ta có

   $d: x – 1 + y + 2 = 0$

   $<-> d: x + y + 1 = 0$

   Ta tìm giao điểm của $d$ với đường tròn $(C)$, khi đó là nghiệm của hệ

   $\begin{cases} x + y + 1 = 0\\ (x-1)^2  + (y+2)^2 = 4 \end{cases}$

   Từ ptrinh đầu ta suy ra $y = -x-1$. Thế vào ptrinh sau ta có

   $(x-1)^2 + (-x-1+2)^2 = 4$

   $<-> 2(x-1)^2 = 4$

   $<-> (x-1)^2 = 2$

   $<-> |x-1| = \sqrt{2}$

   Vậy $x = 1 + \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 – \sqrt{2}$

   Khi đó ta có $y = -2 – \sqrt{2}$ hoặc $y = -2 + \sqrt{2}$.

   Vậy hai giao điểm $A(1 + \sqrt{2}, -2 – \sqrt{2})$ và $B(1 – \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.

   Ta tính khoảng cách từ hai giao điểm đến $\Delta$.

   $d(A, \Delta) = \dfrac{|1 + \sqrt{2} -(-2 – \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{1 +1^2}} = \dfrac{6 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

   và

   $d(B, \Delta) = \dfrac{|1 – \sqrt{2} – (-2 + \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6 – 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 

   Ta thấy $d(B, \Delta) < d(A, \Delta)$

   Vậy điểm thỏa mãn đề bài là $B(1 – \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.

   Bình luận