Cho (C): x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 tìm M thuộc (C) sao cho d(M;denlta) ngắn nhất với delta: x - y + 3 = 0

Question

mytam · Answer

Ta có

$(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$

Ta viết ptrinh đường thẳng $d$ qua tâm $I(1,-2)$ và vuông góc với $\Delta: x – y + 3 = 0$

Do $d \perp \Delta$ nên $n_d = u_{\Delta} = (1,1)$

Lại có $d$ qua $I(1,-2)$ nên ta có

$d: x – 1 + y + 2 = 0$

$<-> d: x + y + 1 = 0$

Ta tìm giao điểm của $d$ với đường tròn $(C)$, khi đó là nghiệm của hệ

$\begin{cases} x + y + 1 = 0\\ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \end{cases}$

Từ ptrinh đầu ta suy ra $y = -x-1$. Thế vào ptrinh sau ta có

$(x-1)^2 + (-x-1+2)^2 = 4$

$<-> 2(x-1)^2 = 4$

$<-> (x-1)^2 = 2$

$<-> |x-1| = \sqrt{2}$

Vậy $x = 1 + \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 – \sqrt{2}$

Khi đó ta có $y = -2 – \sqrt{2}$ hoặc $y = -2 + \sqrt{2}$.

Vậy hai giao điểm $A(1 + \sqrt{2}, -2 – \sqrt{2})$ và $B(1 – \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.

Ta tính khoảng cách từ hai giao điểm đến $\Delta$.

$d(A, \Delta) = \dfrac{|1 + \sqrt{2} -(-2 – \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{1 +1^2}} = \dfrac{6 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

và

$d(B, \Delta) = \dfrac{|1 – \sqrt{2} – (-2 + \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6 – 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Ta thấy $d(B, \Delta) < d(A, \Delta)$

Vậy điểm thỏa mãn đề bài là $B(1 – \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.

Cho (C): x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0 tìm M thuộc (C) sao cho d(M;denlta) ngắn nhất với delta: x – y + 3 = 0