Cho các số thực x,y thỏa mãn : x ² +y ²=1 . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức M= √3 .xy +y ²

Đáp án: Mmax = 3/2 ; Mmin = -1/2

Giải thích các bước giải:

 Với mọi a , b ta có : (a – b)² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab ⇔ ab < $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ (*) 

Áp dụng (*) ta có :

M = √3xy + y² = (√3x)y + y² ≤ $\frac{(√3x)^{2}+ y^{2}}{2}$ + $y^{2}$ = $\frac{3(x^{2} + y^{2})}{2}$ = $\frac{3}{2}$ 

Dấu ”=” xảy ra ⇔ $\left \{ {{√3x = y} \atop {x² + y² = 1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{y=√3x} \atop {3x² + x² = 1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{y=√3x} \atop {x² = 1/4}} \right.$ ⇔  { x = 1/2 hoặc y = √3/2

                                                                                                   { x = -1/2 hoặc y = -√3/2

Vậy Mmax = 3/2 khi x = 1/2 ; y = √3/2 hoặc x = -1/2 ; y = -√3/2

+) Xét 2M + 1 = 2(√3y + y²) + 1 = 2√3xy + 2y² + x² + y²

=  x² + 2x . √3y + 3y² = ( x + √3y )² ≥ 0 ∀ x,y

=> M ≥ -1/2

Dấu ”=” xảy ra 

⇔ {x + √3y = 0  ⇔ {x = -√3y                ⇔ {x = -√3y  ⇔ {x = -√3/2 hoặc y = 1/2

    {x² + y² = 1         {(-√3y)² + y² = 1         {y² = 1/4        {x = √3/2 hoặc y = -1/2

Vậy Mmin = -1/2 khi x = -√3/2 ; y = 1/2 hoặc x = √3/2 ; y = 1/2

Lười đánh kí tự b tham khảo nha