Cho đa thức B(x) = ax^2 +bx+c biến x, với a,b,c là các số thỏa mãn 2(3a-2b+c)=a-5b. Chứng minh B(-1)B(2) bé hơn hoặc bằng 0.
Cho đa thức B(x) = ax^2 +bx+c biến x, với a,b,c là các số thỏa mãn 2(3a-2b+c)=a-5b. Chứng minh B(-1)B(2) bé hơn hoặc bằng 0.
By Samantha
Theo đề bài, ta có:
`2(3a – 2b + c) = a – 5b`
`=> 6a – 4b + 2c = a – 5b`
`=> 6a – 4b + 2c – a + 5b = 0`
`=> 5a + b + 2c = 0`
`B(x) = ax^2 + bx + c`
`+) => B(-1) = a. (-1)^2 + b. (-1) + c`
`=> B(-1) = a – b + c (1)`
`+) => B(2) = a. 2^2 + b. 2 + c`
`=> B(2) = 4a + 2b + c`
`=> B(2) = 5a – a + b + b + 2c – c`
`=> B(2) = (5a + b + 2c) – (a – b + c)`
`=> B(2) = 0 – (a – b + c)`
`=> – B(2) = a – b + c (2)`
Từ `(1)` và `(2) => B(-1) = – B(2)`
Ta có: `B(-1). B(2) = – B(2). B(2) = – [B(2)]^2 <= 0`
`=> B(-1). B(2) <= 0`
Đáp án:
$\bullet$ `2 (3a – 2b + c) = a – 5b`
`⇔ 6a – 4b + 2c =a – 5b`
`⇔ 6a – 4b + 2c – a + 5b = 0`
`⇔ 5a + b + 2c = 0`
$\\$
$\\$
$\bullet$ Có : `B (x) = ax^2 + bx + c`
`→` \(\left\{ \begin{array}{l}B (-1) = a . (-1)^2 + b . (-1) + c\\B (2) = a . 2^2 + b . 2 + c \end{array} \right.\)
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}B (-1) = a – b + c\\B (2) = 4a + 2b + c\end{array} \right.\)
$\\$
$\\$
$\bullet$ Đem `B (2) + B (1)` ta được :
`B (2) + B (1) = 4a + 2b + c + a – b + c`
`-> B (2) + B (1) = (4a + a) + (2b – b) + (c + c)`
`-> B (2) + B (1) = 5a + b + 2c`
mà `5a + b + 2c = 0`
`-> B (2) + B (1) = 0`
`-> B (2) = – B (1)`
$\\$
$\\$
$\bullet$ Có : `B (1) . B (2)`
mà `B (2) = – B (1)`
`-> B (1) . [- B (1)]`
`= – [B (1)]^2`
Ta thấy : `[B (1)]^2 ≥0`
`-> – [B (1)]^2 ≤ 0`
`-> B (1) . (2) ≤ 0` (Điều phải chứng minh)