Cho đa thức f(x) = ax ² + bx + c với a,b,c là các số nguyên và a # 0 thỏa mãn f(3)$\vdots\$9 và f(4)$\vdots\$8 . CMR : f(12) $\vdots\$ 72
Cho đa thức f(x) = ax ² + bx + c với a,b,c là các số nguyên và a # 0 thỏa mãn f(3)$\vdots\$9 và f(4)$\vdots\$8 . CMR : f(12) $\vdots\$ 72
By Amara
Đáp án:
`=>f(12)\vdots 72`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`f(12)-f(3)\vdots 9`
`=>f(12)\equiv f(3)` `\text{(mod 9)}`
`f(12)-f(4)\vdots 8`
`=>f(12)\equiv f(4)` `\text{(mod 8)}`
Mà `f(3)\vdots 9=>f(12)\vdots 9`
`f(4)\vdots 8=>f(12)\vdots 8`
Mặt khác `(8,9)=1`
`=>f(12)\vdots 72` (đpcm)
Đáp án:
Mình gửi bạn nhé
Giải thích các bước giải:
Áp dụng tính chất của đa thức:
A(x) chia hết cho M(x)
B(x) chia hết cho N(x)
⇒ A(x) . B(x) chia hết cho M(x). N(x)
Ta có : f(x)=ax² + bx + c
f(3) = 9a + 3b + c chia hết cho 9
Vì 9a luôn chia hết cho 9 nên:
⇒ (3b +c ) chia hết cho 9
⇔ 8. (3b +c ) chia hết cho (8 . 9)
⇔ (24b + 8c) chia hết cho 72 (1)
f(4) = 16a + 4b + c chia hết cho 8
Vì 16a luôn chia hết cho 8 nên
⇒ (4b +c ) chia hết cho 8
⇔ 9. (4b +c ) chia hết cho (8 . 9)
⇔ (36b + 9c) chia hết cho 72 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(36b + 9c) – (24b + 8c) chia hết cho 72
⇔ (36b + 9c – 24b – 8c) chia hết cho 72
⇔ ( 12b + c ) chia hết cho 72 (3)
Ta có: f(12) = 144a + 12b + c
Vì 144a luôn chia hết cho 72
Từ (3) ta có 12b + c chia hết cho 72. Nên:
f(12) = 144a + 12b + c chia hết cho 72
Vậy f(12) chia hết cho 72
Chúc bạn học tốt nhé