Cho đoạn thẳng `AB=a` cố định. Từ điểm `M` bất kì trên `AB` dựng hai hình vuông `AMEF` và `PMBQ `trên cùng một nửa mặt phẳng. `AD` cắt `BE` tại `N`.
a) Chứng minh `AD` vuông góc `BE, AD=BE`
b)Chứng minh `F,N,Q` thẳng hàng
c) Chứng minh `MN` vuông góc `FQ`
d) Chứng minh tam giác `ABI` vuông cân
e)Tìm vị trị `M` để `MN` có độ dài lớn nhất
4 câu đầu là gợi ý các bước giải cho câu cuối, cần nhất câu cuối ạ
a) Xét $∆AMP$ và $∆EMB$ có:
$AM = ME$
$MP = MB$
$\widehat{AMP} = \widehat{EMB} = 90^o$
Do đó $∆AMP = ∆EMB$ (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{APM} = \widehat{EBM}; \, AP = BE$
mà $\widehat{APM} + \widehat{MAP} = 90^o$
nên $\widehat{EBM} + \widehat{MAP} = 90^o$
$\Rightarrow AP\perp BE$
b) Gọi $O, O’$ lần lượt là tâm của $AMEF$ và $BMPQ$
Do $O$ là tâm của $AMEF$
nên $OA = OM = OE = OF$
Xét $∆ANE$ vuông tại $N$ có:
$OA = OE = \dfrac{1}{2}AE$
$\Rightarrow ON = OE = OA$
$\Rightarrow ON = OF = OM$
$\Rightarrow ∆FMN$ vuông tại $N$
Hay $\widehat{FNM} = 90^o$
Chứng minh tương tự với tâm $O’$ ta được
$\widehat{QNM} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{FNM} + \widehat{QNM} = 180^o$
$\Rightarrow F, N, Q$ thẳng hàng
c) Ta có: $\widehat{FNM} = 90^o$ (câu b)
$\Rightarrow MN\perp FQ$
d) Với $I= AE\cap BP$
Ta có:
$\widehat{IAB} = \widehat{IBA} = 45^o$
$\Rightarrow ∆IAB$ vuông cân tại $I$
e) Xét tứ giác $MO’IO$ có:
$\widehat{I} = \widehat{O’} = \widehat{O} = 90^o$
Do đó $MO’IO$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{FMQ} = 90^o$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆FMQ$ vuông tại $M$ đường cao $MN$ ta được:
$\dfrac{1}{MN^2} = \dfrac{1}{MF^2} + \dfrac{1}{MQ^2}$
$\Leftrightarrow MN^2 = \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2}$
Ta có:
$MF^2 + MQ^2 \geq 2MF.MQ$
$\Rightarrow \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2} \leq \dfrac{MF^2.MQ^2}{2MF.MQ} = \dfrac{MF.MQ}{2} = \dfrac{MF}{\sqrt2}\cdot\dfrac{MQ}{\sqrt2} = AM.BM$
$\Rightarrow MN \leq \sqrt{AM.BM} \leq \sqrt{\dfrac{(AM + BM)^2}{4}} = \dfrac{AM + BM}{2} = \dfrac{AB}{2}$
Vậy $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow MN = \dfrac{AB}{2}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AM = BM$
$\Leftrightarrow M$ là trung điểm $AB$