Cho đoạn thẳng `AB=a` cố định. Từ điểm `M` bất kì trên `AB` dựng hai hình vuông `AMEF` và `PMBQ `trên cùng một nửa mặt phẳng. `AD` cắt `BE` tại `N`.

0 bình luận về “Cho đoạn thẳng `AB=a` cố định. Từ điểm `M` bất kì trên `AB` dựng hai hình vuông `AMEF` và `PMBQ `trên cùng một nửa mặt phẳng. `AD` cắt `BE` tại `N`.”

1. a) Xét $∆AMP$ và $∆EMB$ có:

   $AM = ME$

   $MP = MB$

   $\widehat{AMP} = \widehat{EMB} = 90^o$

   Do đó $∆AMP = ∆EMB$ (hai cạnh góc vuông)

   $\Rightarrow \widehat{APM} = \widehat{EBM}; \, AP = BE$

   mà $\widehat{APM} + \widehat{MAP} = 90^o$

   nên $\widehat{EBM} + \widehat{MAP} = 90^o$

   $\Rightarrow AP\perp BE$

   b) Gọi $O, O’$ lần lượt là tâm của $AMEF$ và $BMPQ$

   Do $O$ là tâm của $AMEF$

   nên $OA = OM = OE = OF$

   Xét $∆ANE$ vuông tại $N$ có:

   $OA = OE = \dfrac{1}{2}AE$

   $\Rightarrow  ON = OE = OA$

   $\Rightarrow ON = OF = OM$

   $\Rightarrow ∆FMN$ vuông tại $N$

   Hay $\widehat{FNM} = 90^o$

   Chứng minh tương tự với tâm $O’$ ta được

   $\widehat{QNM} = 90^o$

   $\Rightarrow \widehat{FNM} + \widehat{QNM} = 180^o$

   $\Rightarrow F, N, Q$ thẳng hàng

   c) Ta có: $\widehat{FNM} = 90^o$ (câu b)

   $\Rightarrow MN\perp FQ$

   d) Với $I= AE\cap BP$

   Ta có:

   $\widehat{IAB} = \widehat{IBA} = 45^o$

   $\Rightarrow ∆IAB$ vuông cân tại $I$

   e) Xét tứ giác $MO’IO$ có:

   $\widehat{I} = \widehat{O’} = \widehat{O} = 90^o$

   Do đó $MO’IO$ là hình chữ nhật

   $\Rightarrow \widehat{FMQ} = 90^o$

   Áp dụng hệ thức lượng trong $∆FMQ$ vuông tại $M$ đường cao $MN$ ta được:

   $\dfrac{1}{MN^2} = \dfrac{1}{MF^2} + \dfrac{1}{MQ^2}$

   $\Leftrightarrow MN^2 = \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2}$

   Ta có:

   $MF^2 + MQ^2 \geq 2MF.MQ$

   $\Rightarrow \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2} \leq \dfrac{MF^2.MQ^2}{2MF.MQ} = \dfrac{MF.MQ}{2} = \dfrac{MF}{\sqrt2}\cdot\dfrac{MQ}{\sqrt2} = AM.BM$

   $\Rightarrow MN \leq \sqrt{AM.BM} \leq \sqrt{\dfrac{(AM + BM)^2}{4}} = \dfrac{AM + BM}{2} = \dfrac{AB}{2}$

   Vậy $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow MN = \dfrac{AB}{2}$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AM = BM$

   $\Leftrightarrow M$ là trung điểm $AB$

   Trả lời