Cho đường tròn (0;r) đường kính AB. Trên đoạn OA lấy trung điểm I. Vẽ tia Ix vuông góc với AB cắt (0) tại C. Lấy E trên cung nhỏ BC , AE cắt CI tại F, D là giao điểm của BC với tiếp tuyến tại A của (0;r). Tia BE cắt IC tại K
1) cm: BEFI là tg nội tiếp
2) cm: IK.IF= IA.IB
1) xét (O): góc BEA=90 (góc nội tiếp chắn nửa đg tròn)
BEFI có: góc BEF= góc BIF = 90 (cmt: gt)
=>góc BEF + góc BIF = 180
=> BEFI nội tiếp đg tròn, đkinh BF (tổng 2 góc đối = 180)
xét KEIA có : góc KEA= góc KIA =90 (gt)
=>KEIA nổi tiếp đg tròn, đkinh AK (2 đỉnh kề cùng nhìn 2 cạnh dưới góc = 90)
=> góc IKA= góc AEI (cùng chắn cung IA)
mà góc FBI = góc FEI ( BEFI nội tiếp, cùng chắn cung FI)
=> góc IKA=góc FBI ( cùng = góc IEA)
xét tam giác IKA và tam giác IBF
góc IKA=góc FBI (cmt)
góc KIA= góc FIB = 90
=> tam giác IKA và tam giác IBF (g-g)
=> IK/IB = IA/ IF
=>>>IK.IF= IA.IB
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) do Ix ⊥ AB —► ∠FIB = 90°
do E ∈ (O,AB) —► ∠FEB = ∠AEB = 90°
—► E và I cùng nhìn FB dưới một góc 90° nên E và I nằm trên đường tròn đường kính FB hay BEFI là tứ giác nội tiếp
2) Ta có: ∠BIK = ∠FIA = 90° (gt)
Và có: ∠IBK = ∠IFA (cùng phụ ∠EAB)
—► Δ IKB ~ Δ IAF (g.g)
—► IK/IB = IA/IF
—► IK.IF = IA.IB (đpcm)