Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (∆) không có điểm chung với đường tròn (O), H là hình chiếu vuông góc của O trên (∆). Từ điểm M bất kỳ trên (∆) (M≠H), ve hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự giao điểm của AB với OM và OH
a. AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên:
⇒ B, C nằm trên đường tròn đường kính OA
Vậy 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA.
b. AB, AC là hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm nên:
AB = AC ⇒ △ABC cân tại A.
Cũng có: OA là tia phân giác của góc BAC (tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm)
Suy ra: OA là đường cao của △ABC
⇒ OA ⊥ BC hay OA ⊥ BE
Xét △AOB vuông tại B, đường cao BE, ta có:
OA.OE = (đpcm)
c. PB, PK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm P nên PB = PK
QC, QK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm Q nên QC = QK
Do đó, chu vi tam giác APQ
Vậy chu vi tam giác APQ luôn bằng 4R không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC