Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn và 1 điểm C thuộc đường tròn O (C khác A, B). Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh DE = AD + BE và C, O, B, E cùng thuộc 1 đường tròn.
b) OE cắt (O) lần lượt tại V, K và cắt BC tại L (V nằm giữa O và E). Chứng minh LO.LE = LV.LK.
c) Cm: 1/VL – 1/ VE = 2/KV.
Xin mọi người giúp dùm câu c). Cám ơn rất nhiều.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn và 1 điểm C thuộc đường tròn O (C kh
By Rose
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: $DE=DC+CE$
Mà $DC=DA$, $CE=BE$ (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow DE=DA+BE$ (đpcm)
Ta có: $\Delta COE\bot C\Rightarrow C, O, E$ thuộc đường tròn đường kính $OE$
$\Delta BOE\bot B\Rightarrow B, O, E$ thuộc đường tròn đường kính $OE$
Vậy nên $C,O,B,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OE$ (đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta BOE\bot B$ có $BL$ là đường cao
$BL^2=LO.LE$ (1)
$\Delta BVK$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $KV$
Nên $\Delta BVK\bot B$ đường cao $BL$
Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
$BL^2=LV.LK$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $LO.LE=LV.LK$ (đpcm)
c) Ta có $\Delta OBV$ cân đỉnh $O$ (do $OV=OB$ cùng là bán kính $O$)
$\Rightarrow \widehat{OVB}=\widehat{OBV}$
Mà $\widehat{LBV}$ phụ $\widehat{OVB}$
$\widehat{VBE}$ phụ $\widehat{OBV}$
Nên $\widehat{LBV}=\widehat{VBE}$ (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
$\Rightarrow VB$ là tia phân giác $\widehat{LBE}$ của $\Delta LBE$
Nên $\dfrac{BE}{BL}=\dfrac{VE}{LV}$
Ta có:
$\dfrac{1}{VL}-\dfrac{1}{VE}=\dfrac{2}{KV}$
Nhân 2 vế với $VE$:
$\Rightarrow \dfrac{VE}{VL}-\dfrac{VE}{VE}=\dfrac{2VE}{2OV}$
$\Rightarrow \dfrac{VE}{VL}-1=\dfrac{VE}{OV}$
$\Rightarrow \dfrac{BE}{BL}=\dfrac{VE}{OV}+1=\dfrac{VE+OV}{OV}=\dfrac{OE}{OB}$
Như vậy cần chứng minh $\dfrac{BE}{BL}=\dfrac{OE}{OB}$
Thật vậy $\Delta $ vuông $LBE$ có:
$\sin\widehat{LEB}=\dfrac{BL}{BE}\Rightarrow \dfrac{BE}{BL}=\dfrac{1}{\sin\widehat{LEB}}$
$\Delta OBE:\sin\widehat{OEB}=\dfrac{OB}{OE}\Rightarrow \dfrac{OE}{OB}=\dfrac{1}{\sin\widehat{OEB}}$
$\Rightarrow \dfrac{BE}{BL}=\dfrac{OE}{OB}$ (do cùng bằng $\dfrac{1}{\sin\widehat{OEB}}$) (đpcm).