Cho hai số thực $a;b$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = 2$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a^3 + b^3+4}{ab+1}$

Bổ sung đề: Cho hai số thực không âm $a;b$ thỏa $a^2+b^2=2$

Với $a,b$ không âm thì $\begin{array}{l} ab \ge 0 \Leftrightarrow ab + 1 \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ab + 1}} \le 1\\  \Rightarrow P = \dfrac{{{a^3} + {b^3} + 4}}{{ab + 1}} \le {a^3} + {b^3} + 4 \end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a,b \ge 0\\ {a^2} + {b^2} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} \le 2\\ {b^2} \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le a \le \sqrt 2 \\ 0 \le b \le \sqrt 2  \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le {a^3} \le {a^2}\sqrt 2 \\ 0 \le {b^3} \le {b^2}\sqrt 2  \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + {b^3} + 4 \le \sqrt 2 \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4 = 4 + 2\sqrt 2 \\  \Rightarrow P \le 4 + 2\sqrt 2  \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l} {a^2} = 2\\ {b^2} = 2\\ ab = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt 2 \\ b = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = \sqrt 2  \end{array} \right. \end{array} \right.$