Cho hai số thực $a;b$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = 2$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\dfrac{a^3 + b^3+4}{ab+1}$
Cho hai số thực $a;b$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = 2$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a^3 + b^3+4}{ab+1}$
By aikhanh
By aikhanh
Cho hai số thực $a;b$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = 2$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\dfrac{a^3 + b^3+4}{ab+1}$
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Bổ sung đề: Cho hai số thực không âm $a;b$ thỏa $a^2+b^2=2$
Với $a,b$ không âm thì $\begin{array}{l} ab \ge 0 \Leftrightarrow ab + 1 \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ab + 1}} \le 1\\ \Rightarrow P = \dfrac{{{a^3} + {b^3} + 4}}{{ab + 1}} \le {a^3} + {b^3} + 4 \end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a,b \ge 0\\ {a^2} + {b^2} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} \le 2\\ {b^2} \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le a \le \sqrt 2 \\ 0 \le b \le \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le {a^3} \le {a^2}\sqrt 2 \\ 0 \le {b^3} \le {b^2}\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} + {b^3} + 4 \le \sqrt 2 \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4 = 4 + 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \le 4 + 2\sqrt 2 \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l} {a^2} = 2\\ {b^2} = 2\\ ab = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt 2 \\ b = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array} \right.$