Cho hàm số: `y=2x³ -3(3m -1)x² +6(2m² -m)x +3`. Tìm tổng các giá trị của m để HSNB trên đoạn có độ dài `=4`. 16/07/2021 Bởi Ayla Cho hàm số: `y=2x³ -3(3m -1)x² +6(2m² -m)x +3`. Tìm tổng các giá trị của m để HSNB trên đoạn có độ dài `=4`.
Đáp án: $\sum m = 2$ Giải thích các bước giải: $\quad y = 2x^3 – 3(3m-1)x^2 + 6(2m^2 – m)x + 3$ $\to y’ = 6x^2 – 6(3m-1)x + 6(2m^2 – m)$ Hàm số có khoảng nghịch biến $\Leftrightarrow \Delta_{y’}’ > 0$ $\Leftrightarrow 9(3m-1)^2 – 36(2m^2 – m) >0$ $\Leftrightarrow (m-1)^2 >0$ $\Leftrightarrow m\ne 1$ Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số $\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y’ = 0$ Áp dụng định lý Viète ta được: $\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m – 1\\x_1x_2 = 2m^2 – m\end{cases}$ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $4$ $\Leftrightarrow |x_1 – x_2| = 4$ $\Rightarrow (x_1 – x_2)^2 = 16$ $\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 4x_1x_2 = 16$ $\Leftrightarrow (3m-1)^2 – 4(2m^2 – m) = 16$ $\Leftrightarrow (m-1)^2 = 16$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m – 1 = 4\\m – 1 = -4\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 5\\m = -3\end{array}\right.$ (nhận) $\Rightarrow \sum m = 2$ Bình luận
Đáp án: `2` `text()` Giải thích các bước giải: `+` Ta có: `y ′ = 6 x ^2 − 6 ( 3 m − 1 ) x + 6 ( 2 m ^2 − m ) .` `y ′ = 0 ⇔ y ′ = x^ 2 − ( 3 m − 1 ) x + ( 2 m^2−m)=0 .` `+` Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` `⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]` thỏa mãn `|x_1−x_2|=4` `⇔` $\begin{cases} Δ = ( 3 m − 1 ) ^2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) > 0\\(x_1+x_2)^2−4x_1x_2=16\end{cases}$`(I)` `+` Theo định lí Vi-ét ta có `:` $\begin{cases} x_1+x_2=3m-1\\x_1x_2=2m^2-m\end{cases}$ `(I)⇔` $\begin{cases} 9 m^ 2 − 6 m + 1 − 8 m ^2 + 4 m > 0\\( 3 m − 1 )^ 2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) = 16\end{cases}$ `⇔` $\begin{cases} m ^2 − 2m + 1 > 0\\m ^2 − 2m + 1 = 16\end{cases}$`⇔ m^ 2 − 2 m − 15 = 0` `⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m_1=5\\m_2=-3\end{array} \right.\) `⇒` Tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:` `m_1+m_2=5+(-3)=2` Vậy tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:` `2` Bình luận
Đáp án:
$\sum m = 2$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = 2x^3 – 3(3m-1)x^2 + 6(2m^2 – m)x + 3$
$\to y’ = 6x^2 – 6(3m-1)x + 6(2m^2 – m)$
Hàm số có khoảng nghịch biến
$\Leftrightarrow \Delta_{y’}’ > 0$
$\Leftrightarrow 9(3m-1)^2 – 36(2m^2 – m) >0$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 >0$
$\Leftrightarrow m\ne 1$
Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y’ = 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m – 1\\x_1x_2 = 2m^2 – m\end{cases}$
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $4$
$\Leftrightarrow |x_1 – x_2| = 4$
$\Rightarrow (x_1 – x_2)^2 = 16$
$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 4x_1x_2 = 16$
$\Leftrightarrow (3m-1)^2 – 4(2m^2 – m) = 16$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 = 16$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m – 1 = 4\\m – 1 = -4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 5\\m = -3\end{array}\right.$ (nhận)
$\Rightarrow \sum m = 2$
Đáp án:
`2`
`text()`
Giải thích các bước giải:
`+` Ta có: `y ′ = 6 x ^2 − 6 ( 3 m − 1 ) x + 6 ( 2 m ^2 − m ) .`
`y ′ = 0 ⇔ y ′ = x^ 2 − ( 3 m − 1 ) x + ( 2 m^2−m)=0 .`
`+` Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4`
`⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]` thỏa mãn `|x_1−x_2|=4`
`⇔` $\begin{cases} Δ = ( 3 m − 1 ) ^2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) > 0\\(x_1+x_2)^2−4x_1x_2=16\end{cases}$`(I)`
`+` Theo định lí Vi-ét ta có `:` $\begin{cases} x_1+x_2=3m-1\\x_1x_2=2m^2-m\end{cases}$
`(I)⇔` $\begin{cases} 9 m^ 2 − 6 m + 1 − 8 m ^2 + 4 m > 0\\( 3 m − 1 )^ 2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) = 16\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases} m ^2 − 2m + 1 > 0\\m ^2 − 2m + 1 = 16\end{cases}$`⇔ m^ 2 − 2 m − 15 = 0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m_1=5\\m_2=-3\end{array} \right.\)
`⇒` Tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:`
`m_1+m_2=5+(-3)=2`
Vậy tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:` `2`