Cho hàm số: y = (m – 2)x + 4 (d) (với m là tham số)
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Vẽ hình nữa
Cho hàm số: y = (m – 2)x + 4 (d) (với m là tham số)
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Vẽ hình nữa
Đáp án:
$m = 2$
Giải thích các bước giải:
$(d): y = (m-2)x + 4$
$+)\quad (d)$ cắt $Ox$ tại $A\left(\dfrac{4}{2-m};0\right)$
$\to OA = \left|\dfrac{4}{2-m}\right|$
$+)\quad (d)$ cắt $Oy$ tại $B(0;4)$
$\to OB = 4$
Từ $O$ kẻ $OH\perp (d)\quad (H\in (d))$
$\to OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$
Áp dụng hệ thức lượng vào $∆OAB$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:
$\dfrac{1}{OH^2} =\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}$
$\to OH^2 =\dfrac{OA^2.OB^2}{OA^2 + OB^2}$
$\to OH^2 =\dfrac{16\cdot\left(\dfrac{4}{2-m}\right)^2}{16+\left(\dfrac{4}{2-m}\right)^2}$
$\to OH^2 =\dfrac{16}{(2-m)^2}\cdot\dfrac{1}{1 +\dfrac{1}{(2-m)^2}}$
$\to OH^2 =\dfrac{16}{(2-m)^2}\cdot\dfrac{(2-m)^2}{(2-m)^2 +1}$
$\to OH^2 = \dfrac{16}{(2-m)^2 + 1}$
$\to OH^2 \leq \dfrac{16}{0^2 + 1} = 16$
$\to OH \leq 4$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow 2-m = 0\Leftrightarrow m = 2$
Vậy $\max OH = 4 \Leftrightarrow m = 2$
$(d):y=(m-2)x+4$
Gọi $A=(d)∩Ox$
$⇒A(\dfrac{4}{2-m};0)$
$⇒OA=|\dfrac{4}{2-m}|
Gọi $B=(d)∩Oy$
$⇒B(0;4)$
$⇒OB=4$
Gọi $OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$
$⇒OH⊥(d)$
Xét $ΔAOB$ vuông tại $O$ có $OH$ là đường cao, ta có:
$\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}$
$⇒OH=\dfrac{OA.OB}{\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}}$
$=\dfrac{|\dfrac{4}{2-m}|.4}{\sqrt{\dfrac{16}{(2-m)^{2}}+16}}$
$=\dfrac{\dfrac{16}{|2-m|}}{\dfrac{\sqrt{16+16.(2-m)^{2}}}{|2-m|}}$
$=\dfrac{16}{\sqrt{16+16.(2-m)^{2}}}$
Để $OH_{Max}$ thì $\sqrt{16+16.(2-m)^{2}}_{Min}$
$⇒16.(2-m)^{2}_{Min}$
$⇒16.(2-m)^{2}=0$
$⇒OH_{Max}=\dfrac{16}{\sqrt{16}}=4$
Dấu $=$ xảy ra khi $m=2$