Cho hình bình hành ABCD có góc A =60 độ,AD=2AB.Gọi M là trung điểm BC,N là trung điểm AD
a,Chứng minh tứ giác MNCD là hình thoi
b,Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với MN tại E,cắt AB tại F.Chứng minh E là trung điểm của CF
c,Chứng minh Δ NCF đều
d,Chứng minh 3 điểm F,M,D thẳng hàng
a)
Ta có tứ giác ABCD là hbh
⇒
AD=BC; AD//BC
Mà M và N là trung điểm của AD và BC
⇒
M
D
=
N
C
Xét tứ giác MNCD có:
MD//NC
MD=NC
⇒
Tứ giác MNCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Mà
M
D
=
C
D
=
A
D
2
⇒
Tứ giác MNCD là hình thoi
b) Ta có tứ giác MNCD là hình thoi
⇒
CD//MN
Xét ΔBFC có: EN//BF
N là trung điểm của BC
⇒
EN là đườngtrung bình của tam giác BFC
⇒
E là trung điểm của CF
c) Ta có tứ giác MNCD là hình thoi
⇒
CM là tia phân giác của gốc BCD
⇒
ˆ
B
C
M
=
B
C
D
2
=
60
o
2
=
30
o
Xét tam giác BFC có NE//BF
NE⊥FC
⇒
BF⊥FC
⇒
ˆ
B
C
F
=
90
o
−
ˆ
F
B
C
=
90
o
−
ˆ
B
A
D
=
30
o
⇒
ˆ
F
C
M
=
ˆ
F
C
B
+
ˆ
B
C
M
=
60
o
Xét tam giác MCF có ME vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒
ΔMCF cân tại M
Mà
ˆ
M
C
F
=
60
o
⇒
ΔMCF đều
d) Ta có: FM=FC (do ΔMCF đều)
⇒
F ∈ trung trực của MC
D
M
=
D
C
(
=
A
D
2
)
⇒
D ∈ trung trực của MC
Có NC=NM
⇒
N∈trung trực của MC
⇒
F; N; D cùng thuộc trung trực của MC
⇒
F; N; D thẳng hàng
image