cho hình thoi ABCD gọi E,H,G,F lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật . gọi k là giao điểm của AG HF.CM HF

0 bình luận về “cho hình thoi ABCD gọi E,H,G,F lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật . gọi k là giao điểm của AG HF.CM HF”

1. Giải thích các bước giải:

   a) Ta có tứ giác ABCD là hình thoi

   => AC⊥BD

   Xét ΔABC có E và H là trung điểm của AB và BC

   => EH là đường trung bình của ΔABC

   => EH//AC và EH=AC/2

   Xét ΔACD có F và G là trung điểm của AD và CD

   => FG là đường trung bình của ΔACD

   =>FG//AC và FG=AC/2

   => EH=FG và EH//FG

   Xét ΔABD có E và F là trung điểm của AB và AD

   =>EF là đường trung bình của ΔABD

   =>EF//BD

   Mà CA⊥BD

   => EF⊥AC

   Mà EH//AC

   => EH⊥EF

   Xét tứ giác EFGH có EH//FG và EH=FG

   =>Tứ giác EFGH là hbh

   Mặt khác có góc HEF=90

   =>Tứ giác EFGH là hcn

   b) Xét hình thoi ABCD có H và F là trung điểm của BC và AD

   => HF là đường trung bình của hình thoi ABCD

   =>HF=CD và HF//CD

   Xét ΔAGD có KF//GD

   Áp dụng Talet ta có:

   $\frac{KF}{GD}$= $\frac{AF}{AD}$= $\frac{1}{2}$

   =>GD=2KF

   Mà CD=HF=2GD

   => HF=4KF(dpcm)

2. Đáp án:

   Giải thích các bước giải:

   Kẻ đường chéo AC

   Xét ΔBAC có

   E là trung điểm của AB(gt)

   F là trung điểm của BC(gt)

   Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

   ⇒EF//AC và EF=AC2EF=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

   Xét ΔDAC có

   G là trung điểm của CD(gt)

   H là trung điểm của AD(gt)

   Do đó: GH là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

   ⇒GH//AC và GH=AC2GH=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

   Từ (1) và (2) suy ra GH//EF và GH=EF

   Xét tứ giác EFGH có GH//EF và GH=EF

   nên EFGH là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

   Ta có: E là trung điểm của AB(gt)

   ⇒EA=EB=AB2EA=EB=AB2

   Ta có: AD=BC(do AD và BC là hai cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)

   ⇒AD2=BC2AD2=BC2

   hay AH=BF

   Xét ΔEAH vuông tại A và ΔEBF vuông tại B có

   EA=EB(cmt)

   AH=BF(cmt)

   Do đó: ΔEAH=ΔEBF(hai cạnh góc vuông)

   ⇒EH=EF(hai cạnh tương ứng)

   Xét hình bình hành EHGF có EH=EF(cmt)

   nên EHGF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)