cho hình thoi ABCD gọi E,H,G,F lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật . gọi k là giao điểm của AG HF.CM HF=4FK
cho hình thoi ABCD gọi E,H,G,F lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật . gọi k là giao điểm của AG HF.CM HF
By Alice
Giải thích các bước giải:
a) Ta có tứ giác ABCD là hình thoi
=> AC⊥BD
Xét ΔABC có E và H là trung điểm của AB và BC
=> EH là đường trung bình của ΔABC
=> EH//AC và EH=AC/2
Xét ΔACD có F và G là trung điểm của AD và CD
=> FG là đường trung bình của ΔACD
=>FG//AC và FG=AC/2
=> EH=FG và EH//FG
Xét ΔABD có E và F là trung điểm của AB và AD
=>EF là đường trung bình của ΔABD
=>EF//BD
Mà CA⊥BD
=> EF⊥AC
Mà EH//AC
=> EH⊥EF
Xét tứ giác EFGH có EH//FG và EH=FG
=>Tứ giác EFGH là hbh
Mặt khác có góc HEF=90
=>Tứ giác EFGH là hcn
b) Xét hình thoi ABCD có H và F là trung điểm của BC và AD
=> HF là đường trung bình của hình thoi ABCD
=>HF=CD và HF//CD
Xét ΔAGD có KF//GD
Áp dụng Talet ta có:
$\frac{KF}{GD}$= $\frac{AF}{AD}$= $\frac{1}{2}$
=>GD=2KF
Mà CD=HF=2GD
=> HF=4KF(dpcm)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Kẻ đường chéo AC
Xét ΔBAC có
E là trung điểm của AB(gt)
F là trung điểm của BC(gt)
Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒EF//AC và EF=AC2EF=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔDAC có
G là trung điểm của CD(gt)
H là trung điểm của AD(gt)
Do đó: GH là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒GH//AC và GH=AC2GH=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra GH//EF và GH=EF
Xét tứ giác EFGH có GH//EF và GH=EF
nên EFGH là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: E là trung điểm của AB(gt)
⇒EA=EB=AB2EA=EB=AB2
Ta có: AD=BC(do AD và BC là hai cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)
⇒AD2=BC2AD2=BC2
hay AH=BF
Xét ΔEAH vuông tại A và ΔEBF vuông tại B có
EA=EB(cmt)
AH=BF(cmt)
Do đó: ΔEAH=ΔEBF(hai cạnh góc vuông)
⇒EH=EF(hai cạnh tương ứng)
Xét hình bình hành EHGF có EH=EF(cmt)
nên EHGF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)