Cho (P) : y = x² và (d) : y = 2x + m . Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn : (1 – x1.x2)² + 2(y1 + y2) = 10
Cho (P) : y = x² và (d) : y = 2x + m . Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn : (1 – x1.x2)² + 2(y1 + y2) = 10
By Audrey
Đáp án:
$m=-3+\sqrt{10}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^2=2x+m\\ \Leftrightarrow x^2-2x-m=0\\ \Delta’=1^2+m=m+1\\ \Delta’ >0 \Leftrightarrow m+1>0 \Leftrightarrow m>-1\\ Vi-et:x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-m\\ x_1;x_2 \in y=x^2 \Rightarrow y_1=x_1^2; y_2=x_2^2\\ \circledast (1-x_1x_2)^2+2(y_1+y_2)=10\\ \Leftrightarrow (1-x_1x_2)^2+2(x_1^2+x_2^2)=10\\ \Leftrightarrow (1-x_1x_2)^2+2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=10\\ \Leftrightarrow (1+m)^2+2[2^2+2m]=10\\ \Leftrightarrow m^2+6m-1=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} -3+\sqrt{10}\\ -3+\sqrt{10}(L)\end{array} \right.$
Đáp án:
$m=-3+\sqrt{10}$
Giải thích các bước giải:
Xét pt hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$x² = 2x + m$
$⇔x² – 2x – m = 0 $ $(*)$
Ta có : $Δ’=(-1)²-(-m)=1+m$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt thì pt $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $→Δ’>0→m+1>0→m>-1$
Theo hệ thức Vi – ét ta có : $\left \{ {{x1 + x2 = 2} \atop {x1.x2 = -m}} \right.$
Ta có : $(1-x1.x2)²+ 2(y1 + y2)=10$
$⇔ (1-x1.x2)² + 2[(x1)²+ (x2)²] = 10$
$⇔ (1-x1.x2)² + 2[(x1 + x2)² – 2×1.x2] = 10$
$⇔[1-(-m)]² + 2[2²-2.(-m)]=10$
$⇔ (1+m)² + 2(4 + 2m) =10$
$⇔ 1+2m+m² + 8 + 4m = 10$
$⇔ m² + 6m – 1=0$
Ta có : $Δ’= 3²- (-1) =9 +1=10>0$
$→$ pt có 2 nghiệm phân biệt
$m1 = -3 + \sqrt{10}(tmđk)$
$m2 = – 3 – \sqrt{10}(ko$ $tmđk)$
Vậy $m = – 3+ \sqrt{10}$ là giá trị cần tìm