Cho parabol (P): y=1/2x^2 và đường thẳng (d): y=-x +m.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) thỏa mãn x1.x2 + y1.y2=5
Cho parabol (P): y=1/2x^2 và đường thẳng (d): y=-x +m.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) thỏa mãn x1.x2 + y1.y2=5
Đáp án: $m=1+\sqrt{6}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$\dfrac{1}{2}x^2=-x+m$
$⇔x^2=-2x+2m$
$⇔x^2+2x-2m=0(*)$
Ta có: $Δ’=1-1.(-2m)=2m+1$
Số điểm chung của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $(*)$
$(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt
$⇔$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt
$⇔Δ’>0⇔2m+1>0⇔m>-0,5$
Do $x_1;x_2$ là hoành độ giao điểm nên chúng là nghiệm của phương trình $(*)$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $x_1x_2=-2m$
Ta có: $A∈(P)⇒y_1=\dfrac{1}{2}x_1^2$
$B∈(P)⇒y_2=\dfrac{1}{2}x_2^2$
Ta có: $x_1x_2+y_1y_2=5$
`⇔x_1x_2+\frac{1}{2}x_1^2.\frac{1}{2}x_2^2=5`
$⇔x_1x_2+\dfrac{1}{4}(x_1x_2)^2=5$
$⇔-2m+\dfrac{1}{4}(-2m)^2=5$
$⇔m^2-2m-5=0$
$⇔(m-1)^2-6=0$
$⇔(m-1)^2=6$
$⇔m-1=±\sqrt{6}$
$⇔m=1±\sqrt{6}$
Đối chiếu $ĐK,$ ta được: $m=1+\sqrt{6}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: