Cho Parabol (P): y=- $x^{2}$ và đường thẳng (d) : y= mx + m – 2
a)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol(P) tại 2 điểm phân biệt A và B
b) Xác định giá trị của m để $y_{A}$ + $y_{B}$ có giá trị lớn nhất ( với $y_{A}$, $y_{B}$ thứ tự là tung độ của 2 điểm A và B)
Cho Parabol (P): y=- $x^{2}$ và đường thẳng (d) : y= mx + m – 2 a)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol(P) tại 2 đi
By Quinn
a) Xét ptrinh hoành độ giao điểm
$-x^2 = mx + m – 2$
$<-> x^2 + mx + m – 2 = 0$
Ta có
$\Delta = m^2 – 4(m-2) = m^2 – 4m + 8 = (m-2)^2 + 4 \geq 4 > 0$
Do đó ptrinh trên luôn có 2 nghiệm phân biệt, tức là $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Khi đó, ta có
$y_A = m x_1 + m – 2$ và $y_B = m x_2 + m – 2$
Khi đó
$y_A + y_B = m(x_1 + x_2) + 2m – 4$
Áp dụng Viet ta có
$x_1 + x_2 = -m$
Thay vào ta có
$y_A + y_B = -m^2 + 2m – 4$
$= -(m^2 – 2m + 4)$
$= -(m-1)^2 -3 \leq -3$ với mọi $m$
Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0$ hay $m = 1$ (thỏa mãn)
Vậy với $m = 1$ thì $y_A + y_B$ có giá trị lớn nhất.