Cho phương trình 8x² – 8x + m² + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: (x1)^4 – (x2)^4 = (x1)^3 – (x2)^3.
Cho phương trình 8x² – 8x + m² + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: (x1)^4 – (x2)^4 = (x1)^3 – (x2)^3.
`8x^2-8x+m^2+1=0`
`\Delta’=(-4)^2-(m^2+1).8`
`\Delta’=16-8m^2-8`
`\Delta’=-8m^2+8`
Để pt có nghiệm thì
`-8m^2+8>=0`
`<=> -8m^2>=-8`
`<=> m^2<=1`
`<=> -1<=m<=1`
Theo Viet: $\begin{cases}x_1+x_2=1 (1)\\x_1.x_2=\dfrac{m^2+1}{8} (2)\end{cases}$
Có: `(x_1)^4-(x_2)^4=(x_1)^3-(x_2)^3`
`<=> (x_1)^4-(x_2)^4-(x_1)^3+(x_2)^3=0`
`<=> (x_1)^3.(x_1-1)-(x_2)^3(x_2-1)=0`
`-> (x_1)^3.(x_1-x_1-x_2)-(x_2)^3.(x_2-x_1-x_2)=0`
`<=> (x_1)^3.(-x_2)-(x_2)^3.(-x_1)=0`
`<=> -x_1.x_2 (x_1^2-x_2^2)=0`
`<=> -x_1.x_2.(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0`
`-> -(m^2+1)/8. 1.(x_1-x_2)=0`
`<=> x_1-x_2=0`
`<=> x_1=x_2`
`(2)-> x_1=x_2=(\sqrt{2m^2+2})/4`
Thay `x_1=x_2=(\sqrt{2m^2+2})/4` vào (1) ta có:
`(\sqrt{2m^2+2})/2=1`
`<=> \sqrt{2m^2+2}=2`
`<=> 2m^2+2=4`
`<=> m^2=1`
`<=> m=+-1` (TM)
Vậy `m=+-1`
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \mathrm{8x²\ -\ 8x\ +\ m²\ +\ 1\ =\ 0.( 1)}\\ \mathrm{Xét\ \vartriangle ‘=4^{2} -8\left( m^{2} +1\right) =8-8m^{2}}\\ \mathrm{( 1) \ có\ \ 2\ nghiệm\ \Leftrightarrow \vartriangle ‘\geqslant 0}\\ \mathrm{\Leftrightarrow 8-8m^{2} \leqslant 0\ \Leftrightarrow -1\leqslant m\leqslant } 1\\ \mathrm{Theo\ \ Viet,\ có:\ x_{1} +x_{2} =1,\ x_{1} x_{2} =\frac{m^{2} +1}{8}}\\ \mathrm{\Rightarrow x^{2}_{1} +x^{2}_{2} =( x_{1} +x_{2})^{2} -2x_{1} x_{2} =1-\frac{m^{2} +1}{4} =\frac{3-m^{2}}{4}}\\ \mathrm{Ta\ có\ x^{4}_{1} -x^{4}_{2} =x^{3}_{1} -x^{3}_{2}}\\ \mathrm{\Leftrightarrow \left( x^{2}_{1} +x^{2}_{2}\right)\left( x^{2}_{1} -x^{2}_{2}\right) =( x_{1} -x_{2})\left( x^{2}_{1} +x_{1} x_{2} +x^{2}_{2}\right)}\\ \mathrm{\Leftrightarrow \left( x^{2}_{1} +x^{2}_{2}\right)\left( x_{1} +x_{2}\right) =x^{2}_{1} +x_{1} x_{2} +x^{2}_{2}}\\ \mathrm{\Leftrightarrow \frac{3-m^{2}}{4} =\frac{3-m^{2}}{4} +\frac{m^{2} +1}{8}}\\ \mathrm{\Leftrightarrow \frac{m^{2} +1}{8} =0\ ( vô\ lí)}\\ \mathrm{\Leftrightarrow \ không\ có\ giá\ trị\ m\ thoả\ mãn}\\ \end{array}$