Cho pt: x^2 – 2mx + m^2 – 2m=0. Tìm m để pt có 2no thỏa mãn P= x1(x1 + 1) + x2(x2 + 1) + 2021 đạt GTNN

Đáp án:

$m = 0$ thì $MinP=2021$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

${x^2} – 2mx + {m^2} – 2m = 0$

Để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta ‘ \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( { – m} \right)^2} – 1.\left( {{m^2} – 2m} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow 2m \ge 0\\
 \Leftrightarrow m \ge 0
\end{array}$

Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = {m^2} – 2m
\end{array} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
P = {x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right) + 2021\\
 = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2021\\
 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2021\\
 = {\left( {2m} \right)^2} – 2\left( {{m^2} – 2m} \right) + 2m + 2021\\
 = 2{m^2} + 6m + 2021\\
 \ge 2.0 + 6.0 + 2021\left( {do:m \ge 0} \right)\\
 = 2021
\end{array}$

Vậy $m = 0$ thì $MinP=2021$