cho pt: (m-1)$x^{2}$ -2(m+1)x +m=0 Tìm m để pt có 2 nghiệm pb x1, x2 và sao cho |x1-x2| $\geq$ 2
NHớ gh đầy đủ điều kiện nhé
cho pt: (m-1)$x^{2}$ -2(m+1)x +m=0 Tìm m để pt có 2 nghiệm pb x1, x2 và sao cho |x1-x2| $\geq$ 2
NHớ gh đầy đủ điều kiện nhé
Đáp án:
$m \in \left[ {0;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình $\left( {m – 1} \right){x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m – 1 \ne 0\\
\Delta ‘ > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{\left( { – \left( {m + 1} \right)} \right)^2} – \left( {m – 1} \right)m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} + 2m + 1 – {m^2} + m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
3m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m > \dfrac{{ – 1}}{3}
\end{array} \right.\left( 1 \right)
\end{array}$
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m – 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{m}{{m – 1}}
\end{array} \right.$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
\left| {{x_1} – {x_2}} \right| \ge 2\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} \ge 4\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} \ge 4\\
\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m – 1}}} \right)^2} – 4.\dfrac{m}{{m – 1}} \ge 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} – m\left( {m – 1} \right) – {{\left( {m – 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}} \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} – m\left( {m – 1} \right) – {\left( {m – 1} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 – {m^2} + m – {m^2} + 2m – 1 \ge 0\\
\Leftrightarrow – {m^2} + 5m \ge 0\\
\Leftrightarrow m\left( { – m + 5} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow 0 \le m \le 5\left( 2 \right)
\end{array}$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow m \in \left[ {0;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$
Vậy $m \in \left[ {0;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$