Cho S= 1+2+2 ²+2 ³+………+2 mũ 103 a) CMR: S chia hết cho 3 S chia hết cho 15 s chia hết cho 255 b) Tìm chữ số tận cùng

0 bình luận về “Cho S= 1+2+2 ²+2 ³+………+2 mũ 103 a) CMR: S chia hết cho 3 S chia hết cho 15 s chia hết cho 255 b) Tìm chữ số tận cùng”

1. a) Nhóm liên tiếp 2 số hạng với nhau và rút nhân tử chung ra ngoài ta có

   $S = (1 + 2) + 2^2(1 + 2) + \cdots + 2^{102}(1 + 2)$

   $= 3 + 2^2.3 + \cdots + 2^{102}.3$

   $= 3(1 + 2^2 + \cdots + 2^{102})$

   Vậy $S$ chia hết cho 3.

   Nhóm liên tiếp 4 số hạng với nhau ta có

   $S = (1 + 2 + 2^2 + 2^3) + 2^4(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + \cdots + 2^{100}(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$

   $= (1 + 2 + 4 + 8) + 2^4(1 + 2 + 4 + 8) + \cdots + 2^{100} (1 + 2 + 4 + 8)$

   $= 15 + 2^4.15 + \cdots + 2^{100} . 15$

   $= 15(1 + 2^4 + \cdots + 2^{100})$

   Vậy $S$ chia hết cho 15.

   Nhóm liên tiếp 8 số hạng với nhau ta có

   $S = (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7) + 2^8(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7) + \cdots + 2^{96} (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7)$

   $= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) + 2^8(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) + \cdots + 2^{96} (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128)$

   $= 255 + 2^8.255 + \cdots + 2^{96} . 255$

   $= 255(1 + 2^8 + \cdots + 2^{96})$

   Vậy S chia hết cho 255.

   b) Ta có

   $S = 1 + 2 + 2^2 +\cdots + 2^{103}$

   Nhân 2 vào 2 vế ta có

   $2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{104}$

   Khi đó, trừ vế cho vế ta có

   $S = 2S – S = (2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{104}) – (1 + 2 + 2^2 +\cdots + 2^{103})$

   $= 2^{104} – 1$

   Vậy $S = 2^{104}-1$.

   Theo Câu a) ta có $S$ chia hết cho 15, do đó S chia hết cho 5 nên $S$ có tận cùng là 0 hoặc 5.

   Mặt khác, ta lại tính ra $S = 2^{104}-1$ là một số lẻ.

   Do đó, $S$ có tận cùng là 5.

   Trả lời

2. Đáp án:

   Giải thích các bước giải:

   Trả lời