Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC+BM.CA+CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải giúp mk nha!!!!!
Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC+BM.CA+CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải giúp mk nha!!!!!
Đáp án:
`M` là trực tâm `ΔABC.`
Giải thích các bước giải:
Gọi `AM` cắt `BC` tại `I`
Kẻ `BE⊥AI , CF⊥AI`
Có: $S_{ABM}=$ `AM.(BE)/2 <= AM. BI/2`
Tương tự: $S_{AMC}$ `<= AM.(CI)/2`
`=>`$S_{ABMC}$ `<= AM.(BC)/2`
Tương tự `=>` $S_{ABC}$ `<= AM.BC+BM.CA+CM.AB`
Dấu “=” xảy ra `<=>` `M` là trực tâm `ΔABC.`
$\text{AM cắt BC tại I}$
$\text{Kẻ BE vuông AI, CF vuông AI}$
$\text{SABM = $\frac{AM · BE}{2}$ $\leq$ AM · $\frac{ BI}{2}$}$
$\text{Cmtt S amc $\leq$ AM · $\frac{CI}{2}$}$
$\text{suy ra SABMC $\leq$ AM · $\frac{ BC}{2}$}$
$\text{Chứng minh tương tự ⇒ Sabc $\leq$ AM.BC+BM · CA+CM.AB}$
$\text{dấu “=” xảy ra khi M là trực tâm}$