Cho tam giác ABC có các góc nhọn nột tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tứ giác OCDB nội tiếp.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, M là trung điểm BC. C/m: AH=2OM
Cho tam giác ABC có các góc nhọn nột tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại D. a) Chứng minh tứ giác OCDB nội tiếp. b
By Melanie
a.
Ta có BD là tiếp tuyến của (O) (gt)
=> OB vuông BD
=> Góc OBD = 90°
Tương tự, ta được góc OCD = 90°
Xét tứ giác OCDB có
Góc OCD + góc OBD = 180°
Do đó OCDB là tứ giác nội tiếp.
b.
Gọi D là giao điểm của AO và (O)
=> AD là đường kính của (O)
=> Góc ABD = góc ACD (cùng nhìn đường kính AD)
=> AB vuông BD và AC vuông CD
Do H là trực tâm của ∆ABC nên
CH vuông AB
Mà BD vuông AB
Nên BD // CH
Tương tự: DC // BH (cùng vuông AC)
Do đó BDCH là hình bình hành
Ta lại có M là trung điểm của đường chéo BC (gt)
=> M cũng là trung điểm của đường chéo HP
Ta có M là trung điểm của dây cung BC (gt)
=> OM vuông BC
Mà AH vuông BC (H là trực tâm của ∆ABC)
Nên OM // AH (cùng vuông BC)
Xét ∆AHP có
M là trung điểm HP (cmt)
AH // OM (cmt)
=> OM là đường trung bình của ∆AHP
=> OM = AH/2
Hay AH = 2.OM
_______________
Cách khác:
Cách này sẽ thừa nhận đường thẳng Ơ-le và tính chất của nó.
Ta có M là trung điểm của BC
Nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Gọi G là giao điểm của AM và OH
=> G là trọng tâm của ∆ABC
Do AH // OM (cùng vuông BC)
Nên ∆AHG ~ ∆MOG
=> AH/MO = HG/OG = 2
=> AH = 2OM
** Cách này chỉ để tham khảo vì thường phải đi chứng minh lại đường thẳng Ơ-le
(Đường thẳng Ơ-le: trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng và HG = 2OG)