Cho tam giác ABC có góc A = 60 độ, biết AB = c; BC = a; AC = b . Chứng minh : c/(a + b) + b/(a + c) = 1 Cám ơn các anh chị trước

0 bình luận về “Cho tam giác ABC có góc A = 60 độ, biết AB = c; BC = a; AC = b . Chứng minh : c/(a + b) + b/(a + c) = 1 Cám ơn các anh chị trước”

1. Giải thích các bước giải:

   Áp dụng định lý cos cho tam giác $ABC$ ta có:

   $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$

   $\to a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos60^o$

   $\to a^2=b^2+c^2-bc$

   $\to b^2+c^2=a^2+bc$

   Ta có:

   $\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}$

   $=\dfrac{c(a+c)+b(a+b)}{(a+b)(a+c)}$

   $=\dfrac{ac+c^2+ab+b^2}{a^2+ab+bc+ca}$

   $=\dfrac{ac+ab+b^2+c^2}{a^2+ab+bc+ca}$

   $=\dfrac{ac+ab+a^2+bc}{a^2+ab+bc+ca}$

   $=\dfrac{a^2+ab+bc+ca}{a^2+ab+bc+ca}$

   $=1$

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: Tham khảo

   Phân giác $BE; CF$ cắt nhau tại $I$.

   Ta có $:∠BIF = ∠IBC + ∠ICB = \dfrac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)$

   $ = \dfrac{1}{2}(180^{0} – ∠BAC) = 60^{0} ⇒ ∠BIC = 120^{0}$

   Vẽ phân giác $ID$ của $∠BIC ⇒ ∠BID = ∠CID = 60^{0}$

   $ ⇒ ΔBID = ΔBIF (g.c.g) ⇒ BD = BF$. Tương tự $ : CD = CE$

   Áp dụng tính chất phân giác và tính chất dãy tỷ số bắng nhau:

   $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{AF + BF}{AC + BC} = \dfrac{AB}{AC + BC} ⇔ \dfrac{c}{a + b} = \dfrac{BF}{BC} (1)$

   Tương tự $: \dfrac{b}{a + c} = \dfrac{CE}{BC} (2)$

   $(1) + (2) : \dfrac{c}{a + b} + \dfrac{b}{a + c} = \dfrac{BF + CE}{BC} = \dfrac{BD + CD}{BC} = 1 (đpcm)$ 

    

   Trả lời