Cho tam giác ABC góc A bằng 60 độ , R bằng 5 phần căn 3 , r bằng căn 3 . Tính C và S của tam giác.

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sin 60}} = 2.\dfrac{5}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow a = 5\)

Lại có

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = pr \Leftrightarrow \dfrac{{5bc}}{{4.\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{5 + b + c}}{2}.\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow 10bc = 20\left( {5 + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow bc = 10 + 2\left( {b + c} \right)\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng định lí cô sin ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A \Leftrightarrow 25 = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos {60^0}\\ \Leftrightarrow 25 = {b^2} + {c^2} – bc \Leftrightarrow 25 = {\left( {b + c} \right)^2} – 3bc\\ \Leftrightarrow 3bc = {\left( {b + c} \right)^2} – 25\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l}3\left( {10 + 2\left( {b + c} \right)} \right) = {\left( {b + c} \right)^2} – 25\\ \Leftrightarrow 30 + 6\left( {b + c} \right) = {\left( {b + c} \right)^2} – 25\\ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} – 6\left( {b + c} \right) – 75 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = 3 + 2\sqrt {21}  > 0\\b + c = 3 – 2\sqrt {21}  < 0\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 3 + 2\sqrt {21} \\bc = 10 + 2\left( {3 + 2\sqrt {21} } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 3 + 2\sqrt {21} \\bc = 16 + 4\sqrt {21} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = …\\c = …\end{array} \right.\)