Cho tam giác ABC vuông tại A, ( AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi E, N thứ tự là trung điểm của AB và AC. a) Tứ giác ANME là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tứ giác EHMN là hình thang cân? c) Tính số đo góc EHN? d) Từ A kẻ thẳng đường song song với BC cắt tia ME tại K. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AKBM là hình vuông? Khi dfos tứ giác EHMN là hình gì? Vì sao?
Cho tam giác ABC vuông tại A, ( AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi E, N thứ tự là trung điểm của AB và AC. a) Tứ giác ANME là hình gì? Tại sa
By Parker
a) Ta có M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó MN//AB.
CMTT ta có ME//AC.
Vậy tứ giác MNAE là hình bình hành.
Lại có $\widehat{BAC}$ vuông nên MNAE là hình chữ nhật.
b) Ta có N, E là trung điểm AC, AB nên NE là đường trung bình của tam giác ABC, do dó NE//BC hay NE//MH. Vậy tứ giác MNEH là hình thang.
Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là trung tuyến, do đó HN = NA.
Do tứ giác ANME là hình chữ nhật nên NA = ME.
Trong hình thang MNEH có hai đường chéo ME = HN (= NA). Do đó MNEH là hình thang cân.
c) Do NH = NA nên tam giác NAH cân tại N, do đó $\widehat{NHA} = \widehat{NAH}$
Xét tam giác vuông AHB có HE là đường trung tuyến, do đó EA = EH. Vậy tam giác AEH cân tại E nên $\widehat{EAH} = \widehat{EHA}$
Ta có
$\widehat{EHN} = \widehat{EHA} + \widehat{NHA}$
$ = \widehat{EAH} + \widehat{NAH}$
$= \widehat{NAB} = 90^{\circ}$
Vậy $\widehat{EHN} = 90^{\circ}$
d) Để tứ giác AKBM là hình vuông thì $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$. Do đó AM là đường cao đồng thời là trung tuyến.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.
Khi đó $M \equiv H$. Do đó tứ giác EHMN là một tam giác.
Lại có ME = MN. Do đó tam giác EMN là tam giác cân.