cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC chứng minh BI trên CK=AB^3 trên AC^3

0 bình luận về “cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC chứng minh BI trên CK=AB^3 trên AC^3”

1. Xét tứ giác AIHK có $\widehat{HIA} = \widehat{IAK} = \widehat{AKH} = 90^{\circ}$

   Do đó tứ giác AIHK là hình chữ nhật.

   Xét tam giác vuông BIH có

   $\tan(\widehat{B}) = \dfrac{IH}{IB}$

   Lại có 

   $\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB}$

   Do đó

   $BI = \dfrac{IH}{\tan(\widehat{B})} = \dfrac{IH.AB}{AC}$

   Lại có tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên $IH = AK$. Vậy

   $BI = \dfrac{AK.AB}{AC}$

   CMTT ta cũng có

   $CK = \dfrac{AI.AC}{AB}$

   Vậy

   $\dfrac{BI}{CK} = \dfrac{AK.AB}{AC} .\dfrac{AB}{AI.AC}$

   $= \dfrac{AB^2.AK}{AC^2.AI}$

   $= \dfrac{AB^2}{AC^2} . \dfrac{AK}{AI}$ (1)

   Xét tam giác AHC vuông tại H, $HK \perp AC$. Áp dụng hệ thức lượng ta có

   $AH^2 = AK.AC$ (2)

   Tương tự vs tam giác AHB, ta có

   $AH^2 = AI.AB$ (3)

   Từ (2), (3) ta suy ra

   $AK.AC = AI.AB$

   $<-> \dfrac{AK}{AI} = \dfrac{AB}{AC}$

   Thay vào (1) ta suy ra

   $\dfrac{BI}{CK} = \dfrac{AB^2}{AC^2} . \dfrac{AK}{AI}$

   $= \dfrac{AB^2}{AC^2} . \dfrac{AB}{AC}$

   $= \dfrac{AB^3}{AC^3}$

   Vậy $\dfrac{BI}{CK} = \dfrac{AB^3}{AC^3}$.

   Trả lời