Cho `x , y > 0` thỏa mãn` : x / 2 + y/3 + {xy} / 6 = 3 .` Tìm GTNN của `27x^3 + 8y^3`

0 bình luận về “Cho `x , y > 0` thỏa mãn` : x / 2 + y/3 + {xy} / 6 = 3 .` Tìm GTNN của `27x^3 + 8y^3`”

1. Đáp án:

   $P_{min}=432$ khi $(x;y)=(2;3)$

   Giải thích các bước giải:

    Giả thiết đã cho tương đương:

   $3x+2y+xy=18$

   Đặt $\begin{cases}3x=a\\2y=b \end{cases}$$⇒a+b+\dfrac{1}{6}ab=18$

   $⇒18=a+b+\dfrac{1}{6}ab \leq a+b+\dfrac{1}{24}(a+b)^2$

   $⇒(a+b)^2+24(a+b)-432 \geq 0$

   $⇒(a+b+36)(a+b-12) \geq 0$

   $⇒a+b-12 \geq 0$ (do $a+b+36>0$ ,$\forall a;b>0$)

   $⇒a+b \geq 12$

   Ta có:

   $P=(3x)^3+(2y)^3=a^3+b^3$

   Áp dụng BĐT Cô-si:

   $a^3+216+216 \geq 3\sqrt[3]{a^3.216^2}=108a$

   Tương tự: $b^3+216+216 \geq 108b$

   Cộng vế với vế:

   $a^3+b^3+864 \geq 108(a+b) \geq 108.12=1296$

   $⇒a^3+b^3 \geq 432$

   $⇒P_{min}=432$ khi $a=b=6$ hay $(x;y)=(2;3)$

   Trả lời