Cho x,y là số dương thoả mãn x^2+y^2=1 Tính GTNN của D=1/x +1/y

Đáp án:

$\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$\dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{4}{x+y}$

Ta lại có:

$\quad (x+y)^2\leq 2(x^2 + y^2)$

$\to x + y \leq \sqrt{2(x^2 + y^2)}=\sqrt2$

$\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$

$\to D \geq 2\sqrt2$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 1\\x;\,y>0\end{cases}\Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$

Vậy $\min D =2\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\dfrac{\sqrt2}{2}$