Cho x+y+xy=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= x² + y²

0 bình luận về “Cho x+y+xy=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= x² + y²”

1. x + y + xy = 8

   Tìm Min: A = x² + y²

   Bài này cần có thêm đk x;y > 0 nữa thì phải 🙂

   ――――――――――――――――――――――――

   Từ giả thiết: x + y + xy = 8

   ⇔ x + xy + y + 1 = 9

   ⇔ x(y + 1) + (y + 1) = 9

   ⇔ (x + 1)(y + 1) = 9

   Ta có bđt luôn đúng sau: (a – b)² ≥ 0

   ⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0 ⇔ a² + 2ab + b² ≥ 4ab ⇔ (a + b)² ≥ 4ab

   ⇔ ab ≤ (a + b)²/4 (♥)

   Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b

   Áp dụng bđt (♥) với: a = x + 1 ; b = y + 1 ta có:

   (x + 1)(y + 1) ≤ (x + y + 2)²/4

   ⇔ 9 ≤ (x + y + 2)²/4

   ⇔ (x + y + 2)² ≥ 36

   ⇔ x + y + 2 ≥ 6

   ⇔ x + y ≥ 4

   Mặt khác ta có: (x – y)² ≥ 0

   ⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0

   ⇔ x² + y² ≥ 2xy

   ⇔ 2(x² + y²) ≥ x² + 2xy + y² (cộng thêm (x² + y²) vào 2 vế)

   ⇔ 2(x² + y²) ≥ (x + y)² ≥ 4² = 16

   ⇔ A = x² + y² ≥ 8

   Dấu ” = “xảy ra ⇔ x = y = 2

   Vậy Min A = 8 ⇔ x = y = 2

   Trả lời