Cho x,y,z>0 sao cho $x^{2}$ + $y^{2}$ +$z^{2}$ $\leq$ 3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P= $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ + $\frac{4}{(y+2)^{2} }$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$
Cho x,y,z>0 sao cho $x^{2}$ + $y^{2}$ +$z^{2}$ $\leq$ 3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ + $\frac{4}{(y+2)^{2} }$ + $\frac{8}{(z
By Amaya
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có 2x + 4y + 2x ≤ (x2 + 1) + (y2 + 4) + (z2 + 1) = x2 + y2 + z2 + 6 ≤ 3y + 6
Suy ra 2x + y + 2z ≤ 6. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = = z = 1
Chú ý rằng với hai số dương a, b áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
+ ≥ (*)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Áp dụng (*) ta được
P = + +
≥ +
≥ = ≥ = 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1, y = 2, z = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x = 1, y = 2, z = 1 .