cho x,y,z ≥ 0 thỏa man max{x,y,z} ≥1 cmr x ³+y ³+z ³+(x+y+z-1) ² ≥1+3xyz

Giải thích các bước giải:

$x,y,z ≥ 1$ bỏ chữ $max$ đi thì tôi luôn đúng $:>$

Điều phải chứng minh:

$x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2 – 3xyz -1 ≥0$

$⇔(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) + (x+y+z-1)^2-1 ≥0$

Vì $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) ≥ 0$ $($luôn đúng vì $x,y,z≥0$ và $x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz)$

$⇒$  phải chứng minh: $(x+y+z-1)^2-1≥0$

$+)$ Vì $x,y,z ≥ 0$ 

$⇔(x+y+z)^2-2.(x+y+z)+1-1≥0$

$⇔(x+y+z)^2 ≥ 2(x+y+z)≥0$ (phải chứng minh)

$⇔x^2+y^2+z^2+2xy-2x+2yz-2y+2xz-2z ≥0$

ta có: $x^2+y^2+z^2 ≥ 0$

$⇒2xy-2x+2yz-2y+2xz-2z ≥ 0$

$⇔2x(y-1)+2y(z-1)+2z(x-1) ≥ 0$ (luôn đúng vì $x,y,z ≥ 1$

⇒x³+y³+z³+(x+y+z-1)² ≥1+3xyz